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Lección 99

Representación gráfica de una función (corrección parte 3)

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Se hace un análisis completo de una función racional para poderla representar gráficamente mediante el uso de las herramientas del cálculo diferencial (La idea es no utilizar una tabla de puntos para representar una función) Este procedimiento es general y se hace a través de varios pasos que se dividen en varios videos (esta explicación consta de 3 partes)

En esta tercera parte se analiza
1. Concavidad (criterio de la segunda derivada)
2. Representación final de la función (Gráfica)

En los dos videos anteriores habíamos visto los pasos necesarios para representar gráficamente una función si la necesidad de usar tablas de valores, la función que estábamos analizando era: f(x) = [2(x)^2-1]/[x^2-1], y habíamos hallado para esta función sus interceptos con los ejes coordenados, su rango, su dominio, asíntotas verticales y horizontales, en este video se comenzará con el análisis de la concavidad de la función utilizando el criterio de la segunda derivada para ello, entonces, comencemos hallando la segunda derivada de la función: f’’(x)=[(6(x)^4-4(x)^2-2]/[(x^2-1)^4], si igualamos esta segunda derivada a cero y despejamos a x obtenemos la ecuación cuadrática [3(x)^4-2(x)^2-1]=0, al efectuar la factorización de esta ecuación obtenemos el siguiente resultado: [3(x)^4-2(x)^2-1] =(x^2-1)(3x^2-1)= 0, observemos que antes de efectuar estas operaciones decimos que el denominador de la segunda derivada, es decir [(x^2-1)^4 tiene que ser diferente de cero para que no exista una indeterminación, teniendo en cuenta lo anterior decimos que hay un cambio de concavidad en la función cuando tenemos valores que anulan o que hacen que no exista la segunda derivada, como vemos estos valores son x=±1, al hacer el análisis de puntos críticos obtenemos que para valores entre -1 y 1 la segunda derivada adquiere valores negativos, para valores menores a -1 la segunda derivada adquiere valores positivos y para valores mayores de 1 la segunda derivada adquiere valores positivos, lo que quiere decir este resultado es que en la gráfica la función tiene una concavidad hacia arriba hasta llegar al valor de -1 en donde cambia de concavidad hacia abajo y luego volver a ser cóncava hacia arriba para valores mayores de uno. Como ya se tienen los valores y resultados de los 4 pasos enunciados en la parte 1 de esta serie de videos procedemos a realizar la representación gráfica de esta función. En el video se muestra de manera detallada como queda finalmente la gráfica de esta función.
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