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Lección 119

Regla de l'hopital parte 5

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Método para resolver límites indeterminados de la forma infinito a la cero
Para resolver este tipo de indeterminación el procedimiento consiste en nombrar al límite indeterminado mediante una variable y tomar logaritmo natural a ambos lados para eliminar el problema del exponente.

Luego se procede a expresar el nuevo producto del exponente por el logaritmo como un cociente para tener una indeterminación del tipo 0/0 o infinito sobre infinito para finalmente poder hacer uso de la regla de l'hopital.
Una vez encontrado este límite será igual al Logaritmo natural de la variable que usamos inicialmente en la sustitución, tenemos un resultado de la forma Ln(z) = L donde z=e^L. Z es en este caso el límite que originalmente se pedía.

En este video veremos como aplicar la regla de l´hopital para resolver límites indeterminados del tipo ∞^0. Antes que veamos como se solucionan este tipo de problemas, recordemos lo que nos dice la regla de l´hopital, lo que nos dice la regla de l´hopital es que si tenemos las siguientes condiciones lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0 y que además lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= L, entonces necesariamente lim(x→a)[f(x)/g(x)]= L. Al ver lo que nos dice la regla de l’hopital vemos que al tener una indeterminación del tipo ∞ - ∞ tendremos que realizar alguna transformación matemática con el fin de que la indeterminación quede expresada como una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞. 

Para ver como se resuelven este tipo de problemas se propone el siguiente ejemplo: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→0+)[(lnx)^x], como vemos si evaluamos este límite cuando x tiende a 1 por la derecha tenemos la indeterminación menos infinito elevado a la cero, entonces tenemos que trasformar este límite de tal modo que se obtenga una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞, al emplear el mecanismo usando en el video anterior decimos que z= lim(x→0+)[(lnx)^x], al sacar logaritmo en ambos lados de la ecuación, tenemos que lnz=ln lim(x→0+)[(lnx)^x] aplicando la propiedad de que el logaritmo natural del límite es igual al límite del logaritmo tenemos que: lnz= lim(x→0+){(ln)[lnx]^x}, si aplicamos propiedades de los logaritmos y efectuamos algunas operaciones convenientes, tenemos que la expresión adquiere la siguiente forma: lnz= lim(x→0+){(ln)[lnx]/(1/x)}, vemos que si evaluamos nuevamente este límite cuando x tiende a 1 por la derecha tenemos la indeterminación ∞/∞, entonces si aplicamos la regla de l´hopital derivamos tanto el numerador como el denominador de la función, el límite adquiere entonces la siguiente forma: lnz= lim(x→0+){[(1/x)/lnx]/(-1/x^2)}, simplificando esta expresión, tenemos que: lnz= lim(x→0+)[x/xlnx], si evaluamos nuevamente vemos que obtenemos finalmente el límite de esta función ya que: lnz= lim(x→0+)[x/xlnx]=0/∞=0, entonces al despejar z tenemos que: z= e^0=1, por lo tanto se concluye que: lim(x→0+)[(lnx)^x]= 1.
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