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Lección 117

Regla de l'hopital parte 3

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Uso de la regla de l'hopital para resolver límites con indeterminaciones del tipo infinito menos infinito.

En ocasiones nos encontramos con límites de esta forma que a través de diversas transformaciones podemos llevar a un límite indeterminado 0/0 o infinito sobre infinito. Sea mediante racionalización o reduciendo fracciones en caso de existir.

Solo cuando poseamos un cociente de cero entre cero o infinito entre infinito podremos hacer uso de la regla.

En este video veremos como aplicar la regla de l´hopital para resolver límites indeterminados del tipo ∞ - ∞. Antes que veamos como se solucionan este tipo de problemas, recordemos lo que nos dice la regla de l´hopital, lo que nos dice la regla de l´hopital es que si tenemos las siguientes condiciones lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0 y que además lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= L, entonces necesariamente lim(x→a)[f(x)/g(x)]= L. Al ver lo que nos dice la regla de l’hopital vemos que al tener una indeterminación del tipo ∞ - ∞ tendremos que realizar alguna transformación matemática con el fin de que la indeterminación quede expresada como una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞. Para ver como se resuelven este tipo de problemas se propone el siguiente ejemplo: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)], como vemos si evaluamos este límite cuando x tiende a 1 por la derecha tenemos la indeterminación infinito menos infinito, ya que: lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)]= (1/0+)-(1/0)= ∞ - ∞, entonces tenemos que trasformar este límite de tal modo que se obtenga una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞, si efectuamos la resta entre esas fracciones, el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1+)[(x-1-lnx)/(x-1)(lnx)]=0/0, entonces si aplicamos la regla de l´hopital derivamos tanto el numerador como el denominador de la función, el límite adquiere entonces la siguiente forma: lim(x→1+)[(1-1/x)/(1-1/x-lnx)], vemos que si evaluamos nuevamente el límite obtenemos una indeterminación 0/0, lo cual nos sugiere que podemos volver a aplicar la regla de l´hopital para eliminar la indeterminación, entonces si derivamos tanto el numerador como el denominador de la función nuevamente, el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1+)[(1/X^2)/(1/X^2+1/x)],si evaluamos este límite cuando x se acerca a 1por la derecha obtenemos finalmente el valor de este límite, tenemos entonces que: lim(x→1+)[(1/X^2)/(1/X^2+1/x)]=1/2,teniendo en cuenta lo que nos dice la regla de l´hopital, llegamos a la conclusión de que lim(x→1+)[(1/lnx)-(1/1-x)]= 1/2.
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