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Lección 115

Regla de l'hopital parte 1

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Concepto y ejemplos de la aplicación de la regla de l'hopital para resolver límites indeterminados de la forma cero sobre cero o infinito sobre infinito.
Para hacer uso de esta regla se debe garantizar primero que el límite indeterminado si es de la forma 0/0 o infinito sobre infinito o lo que es igual el límite del numerador, de forma independiente, y del denominador son ambos cero o algún infinito (positivo o negativo). Luego se procede a encontrar el límite cuando x tiende al valor original que se pide en límite pero para el cociente f'(x)/g'(x) (la derivada independiente del numerador y del denominador) . Si este último límite existe entonces el límite original será igual al encontrado para f'(x)/g'(x).

En este video veremos la regla de l’hopital, esta regla será útil para resolver límites indeterminados de la forma cero sobre cero e infinito sobre infinito, lo que nos dice la regla de l´hopital es que si tenemos las siguientes condiciones lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0 y que además lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= L, entonces necesariamente lim(x→a)[f(x)/g(x)]= L. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, lo primero que debemos hacer en este tipo de problemas es verificar las primeras dos condiciones y luego derivar las funciones y determinar si el límite de el cociente entre las derivadas existe, debemos tener en cuenta antes de mostrar los ejemplos que esta regla cumple también cuando los límites de las funciones tienden a más o menos infinito, es decir: lim(x→a)[f(x)]=±∞ y lim(x→a)[g(x)]=±∞. 

Para entender mejor la aplicación d esta regla se propone el siguiente ejemplo: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→0)[ senx/x], habíamos visto en los videos anteriores el valor de este límite usando el teorema del emparedado, sin embargo vamos a hallar nuevamente este límite aplicando la regla de l´hopital, entonces lo primero que debemos hacer es comprobar las dos primeras condiciones, es decir que lim(x→a)[f(x)]=0 y lim(x→a)[g(x)]=0, observemos que estas condiciones se cumplen ya que: lim(x→a)[f(x)]= lim(x→0)[senx]=0 y lim(x→a)[g(x)]= lim(x→0)[x]=0, una vez demostrada esta condición lo que tenemos que hacer es derivar a f(x) y a g(x) y comprobar si el límite del cociente de las derivadas existe, entonces la derivar las funciones tenemos que: f’(x) = cosx y g’(x) = 1, entonces tenemos que: lim(x→a)[f’(x)/g’(x)]= lim(x→0)[cosx/1]=1/1=1, por lo tanto concluimos que el lim(x→0)[ senx/x]=1 que era lo que se quería demostar. En el video se presentan muchos más ejemplos de como hallar límites indeterminados haciendo uso de esta regla.
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