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Lección 55

Regla de la cadena parte 2

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Ejemplos diversos de como aplicar la regla de la cadena para derivar polinomios elevados a la n.

Se establece un regla simple para usar la propiedad de la regla de la cadena de una forma más ágil. La derivada de una polinomio a la n será: n que multiplica al polinomio elevado a la n-1 por la derivada interna (la función que se encuentra elevada a la n).

En algunos de los ejemplos la función interna es a su vez un producto o un cociente donde se debe aplicar la regla de derivación correspondiente para cada caso.

En el video anterior encontrábamos un procedimiento para derivar una función que tenia la siguiente forma: f(x) =[h(x)]^n, decíamos simplemente que la derivada de esta expresión era: f’(x) = n[h(x)]^n-1[h’(x)], es decir, la derivada de una polinomio a la n será: n que multiplica al polinomio elevado a la n-1 por la derivada interna (la función que se encuentra elevada a la n). Esta regla se conoce como regla de la cadena y para ver de manera más clara como se aplica se propone resolver los siguientes problemas: Hallar la derivada de la siguiente función: [3(x)^2- 6(x)^3-2]^7, entonces si aplicamos la fórmula de la cadena tenemos que la derivada de la función es: f’(x)= {7[3(x)^2- 6(x)^3-2]^6}{6x-18(x)^2}, observemos que para este caso n=7, n-1=7-1=6 y la función que se encuentra elevada a la n es el polinomio 3(x)^2- 6(x)^3-2. 

El siguiente problema es: Hallar la derivada de la siguiente función: f(x) = [(x^2-1)/(x^3+2)]^1/3, antes de aplicar la fórmula para la derivada de esta función notemos que en este caso n=1/3, n-1=(1/3)-1= -2/3 y la función que se encuentra elevada a la n el polinomio[(x^2-1)/(x^3+2)] lo que nos hace pensar que cuando hallemos la derivada interna de esta función tendremos que aplicar la regla para la derivada de un cociente vista en los videos anteriores, teniendo todo esto en cuenta tenemos que la derivada de la función es: f’(x)={(1/3)[(x^2-1)/(x^3+2)]^-2/3}{[(x^3+2)(2x)-(x^2-1)(3x^2)]/(x^3+2)^2},podemos simplificar la derivada, pero en este caso la dejaremos indicada de esta manera. En el video se propone un último ejemplo en donde deberemos aplicar la derivada de un producto cuando estemos hallando la derivada interna de la función.
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