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Lección 113

Razón de cambio parte 7 (avión y láser)

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Solución del problema de razón de cambio con funciones trigonométricas

Un láser ubicado en tierra sigue continuamente un avión que se le acerca a 50m/seg y que vuela a 2000m de tierra.

Con qué velocidad cambia el ángulo de giro del láser con respecto a la horizontal cuando el avión dista 3000 m del láser?

Para resolver este problema primero se bosqueja el problema y luego se procede a identificar las variables del problema. Lo que hace interesante este problema es el hecho que tras encontrar la ecuación dinámica que relaciona las variables que se necesitan para resolverlo aparece una nueva incógnita que obliga a establecer otra ecuación dinámica para encontrarla.

En este video veremos una de las aplicaciones más comunes de la derivada que es la solución de problemas que implican razones de cambio. Para ver esto se propone resolver el siguiente problema: Un láser ubicado en tierra sigue continuamente un avión que se le acerca a 50m/s y que vuela a 2000m de tierra. ¿Con qué velocidad cambia el ángulo de giro del láser con respecto a la horizontal cuando el avión dista 3000 m del láser? Para resolver este tipo de problemas se recomienda seguir las series de pasos numerados del 1 al 6 que se presentan en el primer video de esta serie, entonces, siguiendo este procedimiento tenemos: 
1. Se realiza el dibujo del problema tal cual aparece en el video. 
2. Como vemos, las variables relacionadas en nuestro problema son: z( distancia del laser al avión), θ(ángulo de giro del laser) 
3. Observemos que a medida que el avión avanza hacia el laser el ángulo de giro del laser debe variar con el fin de seguir apuntado al avión, entonces lo que nos pregunta el problema es la velocidad con la que varia el ángulo en un tiempo determinado dθ/dt=?, teniendo en cuenta el valor conocido dx/dt=-50m/s. 
4. La ecuación que relaciona estas variables se puede construir a partir de la trigonometría tal y como se muestra en la gráfica del video, tenemos entonces que senθ=2000/z, esta es nuestra ecuación estática. 
5. Ahora derivamos la ecuación estática haciendo uso de la regla de la cadena para expresar la variación del ángulo en función del tiempo: cosθ(dθ/dt) =-2000z^-2(dz/dt), esta ecuación se conoce como ecuación dinámica. 
6 Al despejar en la ecuación a (dθ/dt), tenemos que (dθ/dt)=[-2000/(z^2)(cosθ)](dz/dt), para solucionar finalmente el problemas se debe encontrar tanto a dz/dt como al coseno del ángulo. En el video se muestra de manera detallada como se hallan estas variables y dar así solución final a nuestro problema.
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