• Preuniversitarios
  • Álgebra
  • Aritmética
  • Cálculo
  • Contabilidad
  • Economía
  • Ecuaciones Diferenciales
  • Estadística
  • Finanzas
  • Física
  • Geometría
  • Ingeniería
  • Lógica
  • Matemáticas Financieras
  • Métodos Númericos
  • Química
  • Termodinámica
  • Trigonometría
Lección 111

Razón de cambio parte 5 (sombra hombre que se aleja)

Regístrate para ver este video
Problema de razón de cambio (variables relacionadas)

Una lámpara se encuentra suspendida a 15 pies sobre una calle horizontal y recta.
Si un hombre de 6 pies de alto camina alejándose de la lámpara 
a una velocidad de 5 pies por segundo.

¿Qué tan rápido se alarga su sombra?
¿A qué tasa se aleja la punta de la sombra del hombre?
Este problema bastante común en los cursos de cálculo diferencial se presenta en nuestra serie de tutoriales para ilustrar su forma de solución.
En este caso en particular la ecuación estática se determina haciendo uso de semejanza de triángulos para luego proceder a encontrar la ecuación dinámica y sustituir los valores dados en el problema

En este video veremos una de las aplicaciones más comunes de la derivada que es la solución de problemas que implican razones de cambio. Para ver esto se propone resolver el siguiente problema: Una lámpara se encuentra suspendida a 15 pies sobre una calle horizontal y recta. Si un hombre de 6 pies de alto camina alejándose de la lámpara a una velocidad de 5 pies por segundo. ¿Qué tan rápido se alarga su sombra?¿A qué tasa se aleja la punta de la sombra del hombre? Para resolver este tipo de problemas se recomienda seguir las series de pasos numerados del 1 al 6 que se presentan en el primer video de esta serie, entonces, siguiendo este procedimiento tenemos: 
1. Se realiza el dibujo del problema tal cual aparece en el video. 
2. Como vemos, las variables relacionadas en nuestro problema son: x(distancia del hombre a la lámpara), y(tamaño de la sombra) y z(distancia de la sombra a la lámpara). 
3. Observemos que a medida que el hombre camina hacia la lámpara el tamaño de la sombra varia y además la distancia de la sombra a la lámpara varia también, entonces lo que nos pregunta el problema es la velocidad con la que varían estas distancias en un tiempo determinado, es decir dy/dt =?y dz/dt=?, teniendo en cuenta el valor conocido dx/dt=5ft/s. 
4 Observemos que la ecuación que relaciona estas variables se puede construir a partir de la relación de triángulos semejantes obtenida en la gráfica del video, tenemos que por semejanza de triángulos [y/(x+y)=6/15] ó que y=(2/3)x , esta es nuestra ecuación estática. 
5. Ahora derivamos la ecuación estática haciendo uso de la regla de la cadena para expresar la variación de la distancia en función del tiempo: dy/dt=(2/3)(dx/dt), esta ecuación se conoce como ecuación dinámica. 
6. Como ya sabemos la razón dx/dt= 5ft/s, reemplazamos este valor en nuestra ecuación dinámica, y obtenemos que: dy/dt =[(2/3)(5ft/s) =(10/3)ft , es decir esta es la velocidad con la que crece la sombra cuando dx/dt= 5ft/s. Para hallar dz/dt usamos el hecho que z=x+y , si derivamos esta expresión con respecto al tiempo, tenemos que: dz/dt=dx/dt+dy/dt= 5+10/3= (25/3)ft/s.
Preguntale a otros estudiantes
Conectado como Usted no esta conectado.
Pregunta:
Detalles de la Pregunta:



Waiting...
Toma el curso completo para que puedas acceder a todas sus lecciones
Haz clic en el botón naranja para adquirirlo
El demo del video ha terminado
¿Deseas ver este video completo?
crea tu cuenta en TareasPlus
Regístrate!