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Lección 109

Razón de cambio parte 3 (llenado de un tanque trapezoidal)

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Problema razón de cambio (variables relacionadas)

Un depósito horizontal para agua mide 15m de longitud y sus extremos son trapecios isósceles con altura de 5 m, base menor 5 m y base mayor 8 m. 
Se vierte agua en el depósito a una tasa de 5m^3/min. 

¿A que tasa sube el nivel del agua cuando cuando ha alcanzado una profundidad de 2m?

En este problema se hace uso de la fórmula del área de un trapecio para encontrar el volumen del volumen trapezoidal del agua en el tanque. Luego a través de semejanza se establece la relación necesaria entre la base mayor del trapecio y la altura del agua para que el volumen solo dependa de la altura y usando esta nueva ecuación (ecuación estática del problema) se pueda encontrar la ecuación dinámica en la cual se sustituyen los datos originales del problema y se pueda encontrar la variación del nivel del agua

En este video veremos una de las aplicaciones más comunes de la derivada que es la solución de problemas que implican razones de cambio. Para ver esto se propone resolver el siguiente problema: Un depósito horizontal para agua mide 15m de longitud y sus extremos son trapecios isósceles con altura de 5 m, base menor 5 m y base mayor 8 m. Se vierte agua en el depósito a una tasa de 5m^3/min. ¿A qué tasa sube el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 2m? Para resolver este tipo de problemas se recomienda seguir las series de pasos numerados del 1 al 6 que se presentan en el primer video de esta serie, entonces, siguiendo este procedimiento tenemos: 
1. Se realiza el dibujo del problema tal cual aparece en el video. 
2. Como vemos, las variables relacionadas en nuestro problema son: V(volumen del tanque), h(profundidad del agua en el tanque). 
3. Observemos que a medida que se llena de agua el taque, este ocupa un cierto volumen del recipiente para un instante de tiempo determinado, lo que nos preguntan entonces es la velocidad con la cual aumenta la altura del agua a medida que trascurre un tiempo determinado, es decir, dh/dt cuando h es igual a 2m. 
4. Observemos que la ecuación que relaciona al volumen del líquido con la altura de este, es la ecuación que denota el volumen de una estructura trapezoidal, es decir V= (15/2)(h)(a+5) (ver como se llega a esta expresión según la gráfica del video), el problema al plantear esta ecuación, es que esta depende de dos variables, por lo cual debemos tratar de expresar la base menor (a) en términos de la altura (h), usando las construcciones geométricas del video llegamos a la siguiente ecuación: V=(9/2)h^2+75h, esta es nuestra ecuación estática. 
5. Ahora derivamos la ecuación estática haciendo uso de la regla de la cadena para expresar la variación del volumen y la altura con respecto al tiempo, tenemos entonces que: dV/dt =(9h+75)dh/dt, esta ecuación se conoce como ecuación dinámica. 
6. Como ya sabemos la razón dV/dt= 5m^3/min podemos despejar dh/dt=[5m^3/min]/[ (9(2m)+75)] =(5/ 93) m/min, es decir esta es la velocidad con la que cambia la altura en el instante que h es igual a 2m.
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