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Lección 108

Razón de cambio parte 2 (llenado de un cono invertido)

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Problema de razón de cambio (variables relacionadas)

Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 3m^3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es un cono circular invertido de 20 m de altura y 5 m de radio.

¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ya alcanzado una altura de 10 m?
En este problema, clásico en el cálculo diferencial, se encuentra la ecuación estática haciendo uso de la fórmula del volumen de un cono en función del radio y la altura. Con el uso de semejanza de triángulos se expresa este volumen solo en términos de la altura. Esta nueva ecuación (ecuación estática del problema) es derivada para encontrar la ecuación dinámica, en la cual se sustituyen los valores iniciales para encontrar la variación del nivel del agua con respecto al tiempo.

Este video es la continuación de una serie de ejemplos acerca de razón de cambio. En este caso tenemos un problema donde nos dicen que cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 3m^3/min hacia el interior de un depósito cuya forma es un cono circular invertido de 20 m de altura y 5m de radio. Lo que queremos saber es ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ya ha alcanzado una altura de 10m? El primer paso para resolver este tipo de problemas es realizar su gráfica. El segundo paso es identificar las variables de que nos están hablando (en este caso nos hablan de unidades de volumen y tiempo). También tenemos altura (h) y radio (r). Identificar las variables es muy importante para saber entonces cuál es la variable que se está transformando respecto al resto de variables. Posteriormente necesitamos encontrar una ecuación que relacione las variables. 

Debemos encontrar la ecuación estática para encontrar luego la ecuación dinámica. Como no tenemos la derivada del radio, para ello debemos entonces convertir la función de volumen sólo en términos de la altura, encontrando a “r” mediante el uso de semejanza de triángulos, y sustituimos en la ecuación estática de modo que esta solo nos relacione volumen con altura. Una vez encontrada esta ecuación estática final, podemos derivarla respecto al tiempo para encontrar la ecuación dinámica y resolver el problema (la ecuación dinámica es el resultado de derivar la ecuación estática). Con la ecuación dinámica lo que hacemos es simplemente sustituir lo que tenemos y despejar la incógnita.
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