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Lección 107

Razón de cambio parte 1 (inflado de globo)

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Esquema solución problemas de razón de cambio (tasas relacionadas)
En este tutorial se indican los pasos tradicionales que deben seguirse para solucionar un problema de ritmo de cambio.

El procedimiento consiste:
1. realizar un dibujo cuando sea posible
2. Determinar las cantidades involucradas en el problema
3. Establecer de cuales cantidades están dándonos su derivada
4. Encontrar una ecuación estática que relacione las cantidades que se derivan.
5. Derivar la ecuación estática haciendo uso de la regla de la cadena para encontrar la ecuación dinámica del problema (aquella que contiene derivadas)
6. Sustituir las cantidades conocidas en la ecuación dinámica y encontrar la razón de cambio pedida

Para mostrar este procedimiento en este tutorial se hace uso del siguiente problema: Un globo esférico se infla a una tasa de 5m^3/min. ¿ a que tasa aumenta el radio cuando cuándo alcanza una dimensión de 6m?

En este video veremos una de las aplicaciones más comunes de la derivada que es la solución de problemas que implican razones de cambio. Para ver esto se propone resolver el siguiente problema: Un globo esférico se infla a una tasa de 5m^3/min. ¿A qué tasa aumenta el radio cuando cuándo alcanza una dimensión de 6m? Para resolver este tipo de problemas se recomienda seguir las serie de pasos numerados del 1 al 6 que están en el video, entonces tenemos que 
1. Se realiza el dibujo del problema tal cual aparece en el video. 
2. Como vemos, las variables relacionadas en nuestro problema son: V(volumen del globo), r(radio del globo). 
3. Observemos que a medida que se infla el globo el radio de este también aumenta en unos momentos de tiempo determinados, entonces lo que nos están preguntado es con que velocidad crece el radio a medida que trascurre el tiempo, matemáticamente expresamos esta variación como: (dV/dt) y observemos que el enunciado del problema nos d este valor, es decir dV/dt=5m^3/min, además nos preguntan dr/dt=? Cuando r=6m. 
4. Observemos que la ecuación que relaciona al volumen con el radio es la ecuación que denota el volumen de una esfera, es decir V= (4/3)(π)(r)^3, esta es nuestra ecuación estática. 
5. Ahora derivamos la ecuación estática haciendo uso de la regla de la cadena para expresar la variación del volumen y el radio del globo en función del tiempo: dV/dt=(4/3)(π)(3) )(r)^3(dr/dt), esta ecuación se conoce como ecuación dinámica. 
6. Como ya sabemos la razón dV/dt= 5m^3/min podemos despejar dr/dt=[5m^3/min]/[(4/3)(π) (108m^2)] = (5/144) m/min, es decir esta es la velocidad con la que cambia el radio en el instante que el radio es igual a 6m.
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