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Lección 96

Ejemplos Máximos, mínimos, concavidad, crecimiento y decrecimiento de una función

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Se ilustra con ejemplos como determinar los intervalos de crecimiento o decrecimiento, máximos o mínimos y tipo de concavidad de una función analíticamente.

Para analizar crecimiento y decrecimiento se toma la primera derivada de la función y se analiza donde se hace positiva (crece) o negativa (decrece) mediante el método del cementerio.

Para encontrar los máximos o mínimos se determinanlos valores donde se anula la primera derivada o no existe y se analiza el crecimiento o decrecimiento después de esos puntos, llamados críticos (máximo si primero crece y luego decrece, un mínimo para el caso contrario).

Se calcula luego la segunda derivada de la función y se examina en que intervalo es positiva o negativa. Donde sea negativa se tiene una concavidad hacia arriba y positiva hacia abajo. En el caso de ser cero se tiene un punto de inflexión (cambio de concavidad).

En este video vamos a aplicar los conceptos de crecimiento y decrecimiento de una función, máximo y mínimo de una función, que ya aprendimos en videos anteriores de los tutoriales de cálculo (www.tareasplus.com/calculo-diferencial/). Cuando tenemos una función y nos piden saber dónde la función es creciente, dónde es decreciente, si es cóncava hacia arriba o hacia abajo, si hay un punto de inflexión, si hay un máximo y si hay un mínimo, lo que debemos hacer siempre es partir de la primera derivada. Ahora, para analizar crecimiento o decrecimiento, debemos antes, debemos saber primero dónde se hace cero, y así también sabríamos dónde tiene su valor crítico la derivada. Una vez sepamos el punto donde se anula la función, procedemos a analizar los signos en la recta real, antes y después de dicho número, para saber cuando es mayor a cero o menor que cero (se recomienda para ello utilizar el método de las cruces el cual está explicado en). Cuando es negativa, sabemos que es decreciente, y cuando es positiva es creciente, lo que quiere decir que el punto en el que varía es un mínimo. Luego, si la segunda derivada nos da positiva, quiere decir que la función solo tiene un tipo de concavidad para cualquier valor de x, y como habíamos dicho antes como es positiva la segunda derivada, la función es cóncava hacia arriba. Incluso, si evaluamos en la segunda derivada, vemos que como es una constante positiva, podemos decir que es un mínimo absoluto.
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