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Lección 67

Derivadas la función logarítmica y exponencial de base distinta a e (demostración)

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Aunque en la mayoría de problemas que nos encontramos de derivación con logaritmos y funciones exponenciales la base es el número "e" en muchos otros casos la base es distinta.

En este video mostramos las fórmulas que se necesitan para derivar funciones logarítmicas y exponenciales con base distinta a "e" demostrando cada una de ellas partiendo de las derivadas que ya conocemos cuando la base es precisamente "e".

La derivada de un logaritmo en cualquier base "a" de una función de x es la derivada de la función sobre la función multiplicada por el inverso multiplicativo del logaritmo natural de la base (Lna).

La derivada de una función exponencial a^(x) es la misma función exponencial multiplicada por la derivada del exponente y por el logaritmo natural de la base.
Si f(x) = Log en base a de g(x) entonces f'(x) = g'(x)/g(x) x 1/ln(a)
Si f(x) = a^(g(x)) entonces f'(x) = a^(g(x)) x g'(x) x ln(a)
Para ambos casos se muestran ejemplos prácticos

Hasta ahora conocemos cómo derivar funciones donde tenemos el logaritmo natural de una función, o tenemos “e” elevado a una función. En pocas palabras, hemos dicho que la derivada del logaritmo natural de una función, es la derivada de la función dividido la función, y que la derivada de la exponencial de una función de base e, es la exponencial de la función multiplicada por la derivada del exponente. No siempre nos vamos a encontrar logaritmos naturales y exponenciales en términos de función de x. En este video se explica cómo encontramos las derivadas de funciones cuando tenemos logaritmos y exponenciales con base distinta a “e”. Para ello hacemos uso de una derivada que ya conocemos que es la del logaritmo en base “e”, y hacemos uso de propiedades de logaritmos para llegar a encontrar la derivada del logaritmo en base “a”. 

Si aplicamos propiedades de los logaritmos podremos llegar a expresarlos en términos de logaritmo natural, que es una forma de trabajar que ya conocemos. Finalmente vemos que Si f(x) = Log en base a de g(x) entonces f’(x) = g’(x)/g(x) x 1/ln(a). En este video vemos también cómo derivar una función exponencial con una base distinta a “e”. Para ello tratamos de relacionar la expresión con “e” o Logaritmo, para que podamos realizar la derivada de la forma que ya conocemos. Operando con propiedades de logaritmos vemos que un producto de logaritmos naturales, se resuelve pasando el primer logaritmo como exponente del otro. Continuamos y lo que hacemos es tratar de e y a elevados a la f(x) para que nos encontremos con e elevado a la f(x), forma con la que ya sabemos operar. Finalmente nos encontramos que Si f(x) = a^(g(x)) entonces f’(x) = a^(g(x)) x g’(x) x ln(a). Al final del video se resuelven casos que ilustran de manera práctica cómo trabajar con estas derivadas
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