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Lección 49

Derivada de una función por definición (mediante límites) 5

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Derivada de una función mediante el uso de la definición de derivada como un límite

En este cuarto ejemplo se encuentra la derivada de la función raíz cúbica de x-1 utilizando la definición estudiada para la derivada de una función.

Se muestran la serie de pasos algebraicos que permiten solucionar el límite ya que en un principio es un límite indeterminado del tipo 0/0 el cual se puede resolver mediante el uso de la racionalización (multiplicación por la conjugada) para eliminar la indeterminación

En este video veremos como hallaremos la derivada de una función empleando el concepto de límite, en los videos anteriores veíamos la definición de la derivada en base al concepto de límite era la siguiente: f’(x)= lim(h→0){[f(x+h)-f(x)]/h}, entonces lo que nos dice el problema es que hallemos la derivada de la siguiente función: f(x)=∛(x-1) utilizando para ello el concepto de límite, entonces, si aplicamos la definición de derivada y teniendo en cuenta que cuando nos referimos a f(x+h) lo que queremos decir es que en la función en donde se encuentre el término x se reemplace por el término (x+h), la derivada de la función es: f’(x)= lim(h→0)[ ∛(x+h-1)-∛(x-1)/h], como vemos si evaluamos la función en 0 obtenemos la indeterminación 0/0 ya que el 0 no forma parte del dominio de la función, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación tal como la factorización o la racionalización, en este caso haremos uso de la racionalización para eliminar la indeterminación y multiplicaremos al numerador y al denominador por la conjugada del numerador que es [∛((x+h-1)^2)+∛((x+h-1)(x-1) )+∛((x-1)^2)], al racionalizar la expresión y luego de simplificar tal y como se muestra en el video, la derivada queda expresada de la siguiente manera: f’(x)= lim(h→0)[ ∛(x+h-1)-∛(x-1)/h]= lim(h→0)[(x+h-1)-(x-1)/h(∛((x+h-1)^2)+∛((x+h-1)(x-1) )+∛((x-1)^2))], como vemos si eliminamos los paréntesis del numerador se cancela la x y el 1, de tal manera que es posible cancelar la indeterminación y obtener así la derivada de la función como: f’(x) = lim(h→0)[1/(∛((x+h-1)^2)+∛((x+h-1)(x-1) )+∛((x-1)^2))] = 1/3(∛((x-1)^2)) , entonces decimos que la derivada de la función f(x)= ∛(x-1) es igual a 1/3(∛((x-1)^2)). En el video se muestra de manera detallada todos los procedimientos algebraicos de la racionalización que permite eliminar la indeterminación.
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