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Lección 53

Derivada de un cociente de dos funciones (demostración)

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La derivada de un cociente es igual a la diferencia de los productos de la derivada del numerador por el denominador y la derivada del denominador por el numerador todo esto dividido por el cuadrado del numerador.

Esta propiedad es demostrada mediante la definición de derivada como límite.
Se muestra un ejemplo para ilustrar como utilizar esta propiedad cuando nos encontremos con un cociente de funciones.

A manera nemotécnica esta propiedad se puede recordar como el de abajo por la derivada del de arriba menos el de arriba por la derivada del de abajo. Todo esto dividido entre el cuadrado de el de abajo.

Cuando hacemos referencia al de abajo estamos hablando del denominador y cuando hablemos de el de arriba estamos hablando de la función en el numerador.

En este video veremos la demostración de la derivada de un cociente, si tenemos una función i(x) =f(x)/g(x) decimos que la derivada i’(x)=[g(x)f’(x)-f(x)g’(x)]/[g(x)]^2, es decir la derivada de un cociente es igual a la diferencia entre los productos de la derivada del numerador por el denominador y la derivada del denominador por el numerador todo esto dividido por el cuadrado del numerador . Para demostrar esta propiedad, entonces partamos del concepto de límite, recordemos que la definición de la derivada haciendo uso del límite es la siguiente: f’(x)= lim(h→0){[f(x+h)-f(x)]/h}, entonces, si aplicamos la definición de derivada en nuestra función, teniendo en cuenta que cuando nos referimos a f(x+h) lo que queremos decir es que en la función en donde se encuentre el término x se reemplace por el término (x+h), la derivada de la función es: i’(x)= lim(h→0)[f(x+h)/g(x+h)-f(x)/g(x)]/h], como vemos si evaluamos la función en 0 obtenemos la indeterminación 0/0 ya que el 0 no forma parte del dominio de la función, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación, si restamos las respectivas fracciones y sumamos y restamos f(x)g(x) en el numerador y luego agrupamos convenientemente la expresión , obtenemos las derivadas que deben estar expresadas en el numerador debido a que la derivada queda expresada como: i’(x)= lim(h→0){g(x)[f(x+h)-f(x)]/[(h)g(x+h)g(x)]}- {f(x)[g(x+h)-g(x)]/[(h)g(x+h)g(x)]}, observemos que [f(x+h)-f(x)]/h y [g(x+h)-g(x)]/h son f’(x) y g’(x) respectivamente, es decir, las derivadas de f(x) y de g(x), teniendo en cuenta esto vemos que la derivada queda de la siguiente manera: i’(x)= lim(h→0){[g(x)f’(x)]/[g(x+h)g(x)]}- {[f(x)g’(x)]/[g(x+h)g(x)]}, si evaluamos el límite nuevamente obtenemos la expresión para derivar un cociente de funciones. En el video se muestra de manera detallada los procedimientos de simplificación que nos permiten llegar a la demostración final y además presenta algunos problemas resueltos en donde se aplica esta expresión para hallar los límites de un cociente.
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