• Preuniversitarios
  • Álgebra
  • Aritmética
  • Cálculo
  • Contabilidad
  • Economía
  • Ecuaciones Diferenciales
  • Estadística
  • Finanzas
  • Física
  • Geometría
  • Ingeniería
  • Lógica
  • Matemáticas Financieras
  • Métodos Númericos
  • Química
  • Termodinámica
  • Trigonometría
Lección 65

Derivada de la función logaritmo natural (demostración)

Regístrate para ver este video
La derivada del logaritmo natural de una función es una de las derivadas más utilizadas en cálculo. Es por ello que consideramos conveniente mostrar su forma de cálculo y demostrar porque la derivada con respecto a x de Logaritmo natural de x es 1/x a través de la definición de derivada como límite. Para a continuación dar una fórmula más general para encontrar la derivada del logaritmo de una función de x cualquiera. 

La derivada del logaritmo natural de una función es el cociente entre la derivada de la función f'(x) y la función como tal f(x). D(Ln(f(x)))=f'(x) / f(x)
Para esta demostración se hace uso de la definición del número "e" como un límite al infinito el cual no se demuestra y se asume como cierto.

¿Cómo demostrar la derivada de la función logaritmo natural? En este video respondemos de manera sencilla cómo realizar la demostración de la derivada del logaritmo natural. Como bien sabemos la derivada de la función con respecto a x, de Ln x, es igual a 1/x. Para realizar esta demostración vamos a definir la derivada como límite. Si miramos que inicialmente no podemos resolver dicho límite inmediatamente, por lo cual debemos hacer una serie de trucos algebraicos que nos permitan llegar a demostrar la derivada que ya conocemos. Lo primero que hacemos es aplicar las propiedades del logaritmo natural. Recordemos que cuando tenemos la resta de logaritmos, dado a sus propiedades, es lo mismo que tener el cociente de sus logaritmos. Simplificamos las expresiones del numerador con la propiedad del cociente, y la h del denominador la ponemos al comienzo multiplicando al logaritmo para luego poder manipularla fácilmente. 

De igual manera vamos aplicando las propiedades del logaritmo natural y una serie de sustituciones, para encontrar el límite en términos de “n”. Esa expresión la podemos rescribir separando las potencias según sus propiedades. Posteriormente debemos hacer uso de una definición particular que probablemente no hemos mencionado antes del número “e”, definiéndolo como un límite al infinito, de modo que nos quede un producto por el Logaritmo natural de e. Como bien sabemos Ln(e) es igual a 1, con lo que logramos demostrar que la derivada con respecto a x de logaritmo natural de x, es igual a 1/x. Cuando queremos encontrar la derivada en términos de x de una función de x, lo que debemos hacer es aplicar la regla de la cadena que explicamos en videos anteriores. El truco consiste en aprender que la derivada del Logaritmo natural, es la derivada de la función, sobre la función
Preguntale a otros estudiantes
Conectado como Usted no esta conectado.
Pregunta:
Detalles de la Pregunta:



Waiting...
Toma el curso completo para que puedas acceder a todas sus lecciones
Haz clic en el botón naranja para adquirirlo
El demo del video ha terminado
¿Deseas ver este video completo?
crea tu cuenta en TareasPlus
Regístrate!