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Lección 63

Derivada de la función coseno de x (demostración)

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Demostración formal de que la derivada de coseno de x es menos el seno de x mediante el uso de la definición de derivada como límite. Aunque también se ilustra una forma alternativa de demostrar esta derivada (para quienes quieran ver una forma más rápida)

Adicionalmente se muestran ejemplos de funciones con coseno donde debe hacerse uso de la regla de la cadena. De hecho se muestra que si se tiene el coseno de una función de x la derivada será menos seno de dicha función por la derivada interna de la función (en este caso el ángulo)

¿Cómo derivar la función coseno? En este video en tareasplus.com hacemos la demostración de la derivada del coseno utilizando límites. Hemos escogido la demostración utilizando límites, aunque en algunos textos de cálculo la hacen de distintas maneras. De igual manera, en este video se realiza la demostración alternativa de la derivada del coseno (recordemos que la derivada de cos (x) = -sen(x). Recordemos que por límites, la derivada de una función f’(x) es igual al límite de f(x+h) – f(x), todo esto dividido sobre h. Lo que hacemos entonces es comenzar a sustituir en la función a x por x+h, para comenzar a manipular la expresión resultante. Siempre que definimos una derivada de esta manera, vamos a obtener un cero en el denominador, el cual debemos eliminar de alguna forma. 

En este video lo que hacemos es usar una propiedad que nos permite saber a qué es igual el coseno de la suma de dos angulos. El paso a seguir es sacar factor común para comenzar a reorganizar al expresión. Comenzamos a separar la h en el denominador, para que se nos vayan dando unas expresiones que ya conocemos y ya habíamos resuelto. De esta forma ya tenemos que y’(x)= -sen(x). Al final del video se realizan algunos ejemplos de la aplicación de la derivada del coseno. También se explica cómo resolver la derivada del coseno de x al cuadrado, utilizando la regla de la cadena que explicamos en videos anteriores.
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