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Lección 125

Derivación de funciones complejas ejemplo 4

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Cuarto ejemplo de derivación de una función compleja. Llamada así por el la necesidad del uso de diversas propiedades de la derivación.

En esta derivada se tiene una función racional en un radical con producto en el numerador, funciones trigonométricas y potenciales. En este caso se procede a derivar mediante la técnica conocida como derivación logarítmica lo cual simplifica mucho el proceso.

En este video veremos un problema de derivación compleja, recordemos que el término derivación compleja hace referencia a una derivación en donde deben tenerse en cuenta hacer uso de las diversas propiedades de la derivación. El problema que se resolverá en este video es el siguiente: Halla la derivada de la siguiente función: f(x)= {[(x^2+1)^3(senx)]/[tan(2x)]}^2/3, para resolver este problema haremos uso de la derivación logarítmica , recordemos que lo que pretende la derivación logarítmica es sacar logaritmos a ambos lados de la función para eliminar los exponentes racionales y los cocientes para luego mediante derivación implícita encontrar la respuesta del problema. 

Entonces sacando logaritmo a ambos lados de la función obtenemos que la función adquiere la siguiente forma: lnf(x)= (2/3)ln[(x^2+1)^3(senx)]/[tan(2x)], aplicando la propiedades de los logaritmos que nos dicen que ln(a/b)= lna-lnb y que ln(ab)=lna+lnb, tenemos que lnf(x)= (2/3){ln[3(x^2+1)+ln(senx)-ln[tan(2x)]}. Una vez simplificada este cociente, aplicamos la propiedad de que la derivada del logaritmo es igual a la derivada de la función sobre la función, es decir tenemos que f’(x)/f(x)=(2/3)[(6x/x^2+1)+cosx/senx-2sec^2(2x)/tan2x], como lo que nos interesa es f’(x) y no f’(x)/f(x), despejamos a f’(x) para obtener finalmente la derivada de la función, tenemos entonces que f’(x)=(2/3)[(6x/x^2+1)+cosx/senx-2sec^2(2x)/tan2x]f(x), entonces lo único que falta por hacer es multiplicar por f(x) que sabemos que es f(x)= {[(x^2+1)^3(senx)]/[tan(2x)]}^2/3. En el video se muestra de manera detallada todos los procedimientos efectuados para la obtención de la derivada de esta función.
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