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Lección 94

Derivación Implícita y cómo hallar la Ecuación de una Recta Normal 2

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Ejemplo adicional de como encontrar la ecuación de una recta normal a una curva en un punto de la misma.

Debe usarse la derivación implícita para encontrar la pendiente de la recta tangente que permite posteriormente encontrar la pendiente de la recta normal. La derivación es implícita ya que no es posible tener a la variable dependiente y en función de la variable independiente x

Se tiene la curva (y^3 -1)/x=-e^y y el punto (1,0)

En este video se muestra un ejemplo sobre cómo encontrar la ecuación de una recta normal a una curva en un punto que pertenece a la misma. La curva que tenemos es (y^3 -1)/x=-e^y, con el punto dado (1,0). Lo primero que hacemos es verificar que el punto pertenece a la curva, sustituyendo en la igualdad para verificar que se cumpla. Si la igualdad se cumple el punto pertenece a la curva. Luego, debemos recordar la ecuación de una recta cuando conocemos punto y pendiente que es y-y1=m(x-x1), de la cual conocemos el punto (x1,y1), haciéndose necesario sólo encontrar la pendiente. 

Para encontrar la pendiente de la normal recordemos que es igual a -1 sobre la pendiente de la tangente en el punto. Y la pendiente de la tangente es igual a dy/dx evaluado en el punto. Como no tenemos a “y” en función de x, necesitamos utilizar derivación implícita. Recordemos que la derivada del cociente se compone en el denominador del cuadrado del denominador, y el numerador se compone del numerador por la derivada del numerador, menos la derivada del denominador por el numerador. En este caso como no tenemos una función de x, sino de y, derivamos utilizando propiedades como si fuera una función de x, y lo multplicamos por dy/dx. Como necesitamos encontrar dy/dx, sustituimos directamente en la igualdad obtenida y luego despejamos. Cuando tenemos la pendiente de la tangente sustituimos en la fórmula de la recta normal, y una vez sepamos su valor sustituimos en la ecuación de la recta para así hallar la ecuación de la normal que nos piden inicialmente.
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