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Lección 93

Derivación Implícita y cómo hallar la Ecuación de una Recta Normal 1

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Ejemplo de como encontrar la ecuación de una recta normal a una curva en un punto de la misma.

Debe usarse la derivación implícita para encontrar la pendiente de la recta tangente que permite posteriormente encontrar la pendiente de la recta normal. La derivación es implícita ya que no se tiene a la variable y en términos de x
Se tiene la curva x^2+y^2=xy+1 y el punto (1,1)

En este video veremos como encontrar la ecuación de la recta normal a una curva en un punto que pertenece a la misma, para ver esto, supongamos que tenemos la curva de ecuación:x^2+ y^2= xy+1 y que tenemos el punto (1,1) perteneciente a la curva (fácilmente demostrable ya que si reemplazamos a x=1 y a y=1 en ambos lados de la ecuación, vemos que se cumple la igualdad 2=2), entonces, como ya tenemos la certeza de que este punto pertenece a la curva, procedamos a hallar la ecuación de la recta normal, recordemos que la ecuación para una recta que pasa por punto y con pendiente conocida es: y-y1=m(x-x1), donde el punto tiene coordenadas (x1,y1), como vemos nosotros ya conocemos este punto el cual es (1,1), entonces lo que nos faltaría para hallar la ecuación de la recta normal sería encontrar la pendiente de la recta, si recordamos que la pendiente de la normal a una curva se define como mn=-1/mt, donde mt es la pendiente de la recta tangente a la curva y que se halla como dy/dx|(1,2), es decir, la pendiente es igual a la derivada con respecto a x de la función evaluada en el punto (1,1), como vemos en la ecuación de la curva la y no esta en función de x por lo que debemos realizar derivación implícita y luego despejar a dy/dx que es lo que necesitamos, al derivar implícitamente la función, tenemos que: 2x+2y(dy/dx)= x(dy/dx) +y(1) ,si evaluamos esta derivada en el punto (1,1) y despejamos a dy/dx obtenemos finalmente que la pendiente mt=-1, teniendo en cuenta este resultado podemos hallar la pendiente de la recta normal utilizando la relación antes mencionada, tenemos entonces que la pendiente normal a la curva es: mn=-1/mt= -1/(-1)=1, conociendo entonces todos estos valores, tenemos que la ecuación de la recta es: y-1=1(x-1) , si efectuamos las operaciones nos queda finalmente: y= x.
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