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Lección 57

Demostración regla de la cadena

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Demostración de porque la derivada de una función compuesta fog se puede expresar como f'(g(x)) g'(x)

Para esta demostración se hace uso de la definición de derivada como un límite y se hace una serie de manipulaciones con lo límites para demostrar la igualdad planteada bajo la notación tradicional (D fog = f'(g(x)) g'(x) ). De hecho se hace uso de la notación de leibniz donde dy/dx = dy/du x du/dy que es la que se ha venido utilizando en nuestro portal hasta ahora.

En este video vamos a explicar la demostración de la regla de la cadena. Dicha demostración a realizar es una demostración un poco menos formal que la de los libros de cálculo avanzado, pero nos sirve para entender de dónde sale la regla. Recordemos que la regla de la cadena decía que si “y” era una función de “u”, y “u” era una función de x, entonces la derivada de “y” con respecto a x, era igual a la derivada de “y” con respecto a “u” por la derivada de “u” respecto a “x”. Esto desde el punto de vista de la notación de Leibniz (dy/dx = dy/du . du/dy), pero la regla de la cadena, también conocida como la regla de la derivada de la función compuesta, también se puede representar de la manera y’=f’(g(x)) . g’(x). Para el caso de esta demostración partimos de la derivada de la función con respecto a x, definiendo la derivada como un límite. De esta manera podemos realizar una serie de manipulaciones algebraicas y con el uso de las propiedades de límites separar los productos para encontrar una parte de la demostración en términos de g’(x). Posteriormente pasamos a definir el otro producto bajo la notación que hemos venido trabajando que es la de definición de la derivada como límite.
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