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Lección 37

Continuidad de una función en un punto parte 2

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Se muestra como aplicar el concepto de continuidad de una función en un punto para una función a tramos analizando precisamente el valor de x donde la función cambia.

En el videos se hace especial énfasis en usar límites laterales para garantizar la existencia del límite (se aclara el hecho de que si el límite existe y hay una discontinuidad esta es removible).

En el video anterior estábamos viendo si la función f(x)=[(x^2-1)/(x+1)] era continua y decíamos que la función tenía una discontinuidad en el punto x=-1 debido a que este punto no pertenecía al dominio de la función, es decir la función no tenía una representación gráfica en el punto x=-1, sin embargo veíamos también que nos interesaba saber el límite de esta función ya que si este existía la discontinuidad podía ser removida al hacer que la imagen de la discontinuidad fuera igual al valor del límite de la función (L). En este video veremos un ejemplo de mayor complejidad en donde analizaremos la continuidad de una función, el ejemplo es el siguiente: Sea g(x) una función a tramos definida de la siguiente manera: la función toma valores de4-3x para valores de x<-2, la función toma el valor de 10 para el valor de x=-2 y la función toma valores de x^2+6 para valores de x>-2.

Determine si la función g(x) es continua. Debido a que esta función no es racional, en donde sería más sencillo analizar la discontinuidad, sino que es una función a tramos, lo que debemos hacer es fijarnos en que valor de x la función cambia, como vemos este valor es -2, es decir el único punto en donde debemos analizar la discontinuidad es en el punto -2, entonces lo primero que debemos hacer es ver si la función g(x) existe en el punto x=-2, como vemos existe ya que g(-2)=10, luego debemos verificar la existencia del límite en -2, al ser g(x) una función a tramos, tenemos que hallar los límites laterales, es decir evaluar el límite de la función cuando nos acercamos a -2 desde la izquierda y evaluar el límite de la función cuando nos acercamos a -2 desde la derecha, entonces si nos acercamos desde la derecha, tenemos que: lim(x→-2+)[x^2+6]= 10 y si nos acercamos por la izquierda, tenemos que lim(x→-2-)[4-3x]=10, vemos entonces que el límite de esta función existe ya que obtenemos los mismos valores para los límites laterales, decimos entonces que esta función es continua ya que lim(x→-2)[g(x)] = g(-2)=10.
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