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Lección 36

Continuidad de una función en un punto parte 1

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Concepto intuitivo de continuidad y discontinuidad de una función mostrando ejemplos gráficos que ilustran cuando la discontinuidad es removible.

Concepto formal (matemático) de continuidad de una función mediante el uso de límites. Se listan las condiciones necesarias para que exista continuidad en un punto

En este video se trata el tema de la continuidad de una función. Para ello recurrimos a la utilidad que tienen los límites para saber si una función es continua o no. Para explicar el concepto de continuidad de una función, de manera intuitiva, se realizan unos ejemplos gráficos. Podemos decir que continuidad en una función es cuando la función no presenta interrupciones, saltos o huecos. Se puede decir que una función no es continua en un punto. En otro tipo de funciones, como las funciones a tramos, donde encontramos saltos, se puede decir que no es continua. Tampoco son continuas cuando en un punto encontramos un “hueco”. Cuando las funciones no presentan saltos, cambios o huecos podemos decir que es continua. 

Vamos a hablar de discontinuidad cuando veamos en sus gráficas saltos y vacíos, y de continuidad cuando esto no suceda. También, hay que tener en cuenta que existen continuidades y discontinuidades evitables y no evitables. Las que no son evitables es cuando para que no sucedan debemos cambiar la función. Son evitables cuando podríamos redefinir la función a tramos y decir que la función es siempre para el punto que presenta salto, un valor fijo. Si tengo que mover la función para evitar la discontinuidad, entonces no es evitable. Si simplemente tenemos que reubicar un punto si es evitable. Ahora bien ¿cuál es la relación con los límites? Cuando nos dan una función desde el punto de vista gráfico es muy simple, sólo por observación, saber si la función es continua o no. 

Usualmente en cálculo y en cualquier área de las matemáticas la función nos la dan desde el punto de vista algebraico más no gráfico. Es poco práctico, cuando nos dan una función expresada en su forma algebraica, realizar siempre gráficas para ver si son continuas o no, por lo que se recomienda entonces utilizar los límites. Lo que debemos verificar son los límites laterales, es decir, por derecha o por izquierda. En los casos que una función es continua, las condiciones que se deben cumplir son: 1) la imagen de f(a) existe; 2) Lim x->a existe; 3) f(a)=Lim x->a. Es decir, si nos piden evaluar la continuidad en un punto, lo que debemos hacer es mirar si se cumplen estas condiciones.
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