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Lección 17

Cálculo de limites indeterminados mediante racionalización 7

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Cálculo de un límite indeterminado de la forma 0/0 mediante el uso de racionalización

En este séptimo ejemplo resuelto se muestra como proceder a calcular un límite utilizando la conjugada de una diferencia donde aparecen raíces cúbicas y raíces cuadradas lo que obliga a racionalizar en dos ocasiones para eliminar la indeterminación

Hemos visto en los videos anteriores como usar la factorización para hallar límites indeterminados, sin embargo no siempre es posible factorizar y debemos hacer uso de otras herramientas algebraicas, en este video veremos un ejemplo resuelto de cómo hallar un límite indeterminado 0/0 mediante el uso de la racionalización . El problema es el siguiente: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→1)[(∛x-1)/(√x-1)], como vemos, si aplicamos el hecho de que lím(x→a)[f(x)] = f(a) y evaluamos la función en 1 surge una indeterminación debido a que tendríamos lo siguiente: lim(x→1)[(∛x-1)/(√x-1)]= [(∛1-1)/(√1-1)] =0/0, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación tal como la factorización o la racionalización, en este caso emplearemos la racionalización, basados en los casos de factorización multiplicamos tanto el numerador y el denominador por las respectivas conjugadas de las expresiones del numerador y el denominador que son (∛(x^2)+∛x+∛1^2) para el numerador y (√x+1) para el denominador, efectuando las multiplicaciones, el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1)[(∛x-1)/(√x-1)]= lim(x→1)[(∛x-1)/(√x-1)][( ∛(x^2)+∛x+∛1^2)/(∛(x^2)+∛x+∛1^2)][(√x+1)/ (√x+1)], si efectuamos las operaciones pertinentes y simplificamos la expresión nos queda que: lim(x→1)[(∛x-1)/(√x-1)]=[( √x+1)/ ( ∛(x^2)+∛x+1)], si evaluamos la función en 1 obtenemos finalmente el límite de esta función, tenemos entonces que: lim(x→1)=[( √x+1)/(∛(x^2)+∛x+1)]=[(√1+1)/(∛(1^2)+∛1+1)]= 2/3. En el video se muestra de manera detallada como se hallan las respectivas conjugadas y como se simplifican los términos obtenidos para así poder resolver este problema.
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