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Lección 15

Cálculo de límites indeterminados mediante racionalización 5

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Cálculo de un límite indeterminado de la forma 0/0 mediante el uso de racionalización y factorización para eliminar la indeterminación

En este quinto ejemplo resuelto se muestra como calcular un límite utilizando la conjugada para una diferencia donde aparece una raíz cuadrada y luego una factorización (diferencia de cuadrados) para eliminar la indeterminación.

Hemos visto en los videos anteriores como usar la factorización para hallar límites indeterminados, sin embargo no siempre es posible factorizar y debemos hacer uso de otras herramientas algebraicas, en este video veremos un ejemplo resuelto de cómo hallar un límite indeterminado 0/0 mediante el uso de la racionalización . El problema es el siguiente: Hallar el límite de la siguiente función: lim(t→7)[(2-√(t-3))/(t^2-49)], como vemos, si aplicamos el hecho de que lím(t→a)[f(x)] = f(a) y evaluamos la función en 7 surge una indeterminación debido a que tendríamos lo siguiente: lim(t→7)[(2-√(t-3))/(t^2-49)] = [(2-√(7-3))/(7^2-49)] 0/0, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación tal como la factorización o la racionalización, en este caso emplearemos la racionalización, entonces si multiplicamos al numerador y el denominador por la conjugada del numerador que es (2+√(t-3)) el límite adquiere la siguiente forma: lim(t→7)[(2-√(t-3))/(t^2-49)][ (2+√(t-3))/ (2+√(t-3))]= lim(t→7)[(7-t)/(t^2-49) (2+√(t-3))], vemos que si evaluamos la función en 7 obtenemos nuevamente la indeterminación 0/0, aunque se puede pensar que lo más conveniente es volver a racionalizar la expresión ya que hay presente un término con raíz, vemos que esta racionalización no nos conduce a nada práctico, lo más conveniente es factorizar el denominador ya que se encuentra presente una diferencia de cuadrados, el límite adquiere entonces la siguiente forma: lim(t→7)[-(t-7)/(t+7)(t-7) (2+√(t-3))]= lim(t→7)[-1/(t+7)(2+√(t-3))], si volvemos a evaluar nuevamente la función en 7 obtenemos finalmente el límite de esta función, tenemos entonces que: lim(t→7)[-1/(t+7)(2+√(t-3))]=[-1/(7+7)(2+√(7-3))]= -1/56 En el video se muestra de manera detallada todos los pasos para la racionalización y factorización respectivas y así encontrar el límite de este problema.
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