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Lección 13

Cálculo de límites indeterminados mediante racionalización 3

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Cálculo de un límite indeterminado de la forma 0/0 mediante el uso de la racionalización para eliminar dicha indeterminación

En este tercer ejemplo resuelto se muestra como calcular el límite utilizando la conjugada de una diferencia dos veces para eliminar la indeterminación y calcular finalmente el límite planteado

Hemos visto en los videos anteriores como usar la factorización para hallar límites indeterminados, sin embargo no siempre es posible factorizar y debemos hacer uso de otras herramientas algebraicas, en este video veremos un ejemplo resuelto de cómo hallar un límite indeterminado 0/0 mediante el uso de la racionalización . El problema es el siguiente: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→1)[(√(1+√x) -√2)/(x-1)], como vemos, si aplicamos el hecho de que lím(x→a)[f(x)] = f(a) y evaluamos la función en 1 surge una indeterminación debido a que tendríamos lo siguiente: lim(x→1)[(√(1+√x) -√2)/(x-1)]= lim(x→1)[(√(1+√1) -√2)/(x-1)]=0/0, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación tal como la factorización o la racionalización, en este caso emplearemos la racionalización, entonces si multiplicamos al numerador y el denominador por la conjugada del numerador que es (√(1+√x) +√2) el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1)[(√(1+√1) -√2)/(x-1)][ (√(1+√x) +√2)/ (√(1+√x) +√2)]= lim(x→1) [(√x-1)/ (x-1)(√(1+√x) +√2)], si volvemos a evaluar esta función en 1 obtenemos de nuevo una indeterminación del tipo 0/0, sin embargo como en el numerador aun se encuentra presente una raíz es posible volver a racionalizar, si multiplicamos nuevamente al numerador y al denominador por la nueva conjugada del numerador que es (√x +1) el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→1) [(√x-1)/ (x-1)(√(1+√x) +√2)][ (√x +1)/ (√x +1)] = lim(x→1)[(x-1)/(x-1) (√(1+√x) +√2)(√x +1) = lim(x→1)[1/(√(1+√x) +√2)(√x +1)], si volvemos a evaluar nuevamente la función en 1 obtenemos finalmente el límite de esta función, tenemos entonces que: lim(x→1) [1/(√(1+√x) +√2)(√x +1)]= [1/(√(1+√1) +√2)(√1 +1)]= 1/4√2. En el video se muestra de manera detallada todos los pasos para la racionalización y se muestra como resolver este mismo problema empleando una factorización forzada.
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