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Lección 31

Asíntotas Horizontales y verticales de una función mediante límites

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Procedimiento para encontrar asíntotas verticales y horizontales en una función racional mediante el uso de límites.

En el caso de las asíntotas verticales se ubican primero los valores anulan el denominador de la función racional y que hacen que el límite en el punto sea del tipo infinito para luego proceder a encontrar los límites laterales alrededor de la asíntota encontrada (el signo del infinito)

Para el caso de las asíntotas horizontales se evalúa si los límites al infinito, positivo y negativo, existen para la función.

En este video veremos una de las aplicaciones más utilizadas de los límites la cual es encontrar el comportamiento de una función con respecto a algo que se denomina en geometría como asíntotas, las asíntotas son rectas que las gráficas de la función nunca tocan, para ver esto observemos que si tenemos la siguiente función f(x) = 1/x su gráfica es una hipérbola que nunca toca ni al eje y ni al eje x, vemos que efectivamente x no puede tomar el valor de cero ya que tendríamos que f(x)=1/0 lo cual sería una indeterminación, por lo tanto decimos que la función f(x)= 1/x tienen una asíntota vertical en x=0, ahora lo que nos interesa es saber que pasa con la función en las cercanías de las asíntotas, es decir, si hallamos el límite cuando x tiende a cero por la derecha vemos que la función tiende a más infinito, es decir, lim(x→0+)[1/x]=+∞ y si hallamos el límite cuando x tiende a cero por la izquierda vemos que la función tiende a menos infinito, es decir, lim(x→0-)[1/x]=-∞. 

El resultado anterior vislumbra el proceso que debemos realizar cuando queremos encontrar la asíntota vertical de un función y nos dice que lo que debemos hacer es buscar o buscar los valores que anulan al denominador y calcular los límites latearles cuando la función tienda al valor del anulador. En el caso de las asíntotas horizontales lo que debemos hacer es calcular el límite de la función cuando x tiende a más infinito y a menos infinito, si el valor de este límite es un número decimos que la asíntota horizontal toma este valor, para el caso de nuestro ejemplo vemos que, lim(x→+∞)[1/x]= 0 y lim(x→-∞)[1/x]= 0, resultados que son congruentes con la gráfica de la función. En el video se muestra muchos más ejemplos para encontrar las asíntotas de una función utilizando el concepto de límite para ello.
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