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Lección 103

Aplicación máximos y mínimos (utilidad máxima) parte 4

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Un vendedor es capaz de vender x unidades de un producto por mes a un precio unitario que varía de acuerdo a la siguiente ecuación P = 200 - 0.01x pesos.
Si el costo total mensual de los productos está dado por la siguiente ecuación C=50x +20000 pesos

¿Qué cantidad de produto debe vender para que la utilidad sea máxima?
Este problema, de las ciencias económicas, se resuelve en este video tutorial estableciendo primero que la función a maximizar (la utilidad) es igual a la diferencia entre ingresos y costos, que en ambos casos dependen de las unidades (x es la variable).

Luego de tener la utilidad en términos de las unidades a vender se procede a derivar esta función e igualar a cero para encontrar los valores críticos de la función (que solo es uno para este ejemplo en particular). Una vez encontrado el valor crítico se usa el criterio de la segunda derivada y se establece que el valor hallado maximiza la función.

En este video veremos la aplicación de máximos y mínimos para resolver el siguiente problema: Un vendedor es capaz de vender x unidades de un producto por mes a un precio unitario que varía de acuerdo a la siguiente ecuación P = 200 – 0.01x pesos. Si el costo total mensual de los productos está dado por la siguiente ecuación C=50x +20000 pesos ¿Qué cantidad de producto debe vender para que la utilidad sea máxima? Antes de aplicar los pasos enunciados en el video anterior para resolver este tipo de problemas, notemos que el precio del producto disminuye a medida que se venden más unidades, es decir el vendedor del producto hace un descuento por cantidad de unidades compradas y observemos que además el costo de producción aumenta a medida que se hagan más unidades del producto, si tenemos esto en cuenta, vemos que puede que a partir de cierta cantidad para la x el proceso no generaría utilidades. 

Teniendo en cuenta lo anterior vemos que para resolver nuestro problema la función que debemos maximizar o minimizar es la utilidad, podemos representar esta función como utilidad=ingresos-costos, utilizando las funciones de nuestro problemas vemos que nuestra función seria U(x)=x(200-0.01x)-50x+20000 = -0.01x^2+150x-20000, notemos que si habláramos en términos económicos lo que nos interesa es maximizar esta función, entonces lo que tenemos que hacer es derivar la función, igualar la derivada a cero para hallar los puntos críticos y así ver cuales de estos puntos son máximos o mínimos. Entonces al derivar nuestra función obtenemos: U’(x)= -0.02x+150, al igualar a cero esta derivada obtenemos -0.02x+150=0, despajando a x obtenemos el siguiente valor crítico: x=7500, para saber si este valor maximiza o minimiza la función usamos el criterio de la segunda derivada, al derivar por segunda vez la función obtenemos: U’’(x)=-0.02, como vemos este resultado expresa que tenemos un máximo en x=7500, es decir el vendedor deberá vender 7500 unidades de producto para maximizar su utilidad.
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