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Lección 104

Aplicación máximos y mínimos (ruta óptima) parte 5

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Un faro se encuentra ubicado de tal forma que se encuentra a 4km del punto más cercano a costa (llamemos ese punto O).

En otro punto sobre la costa (llamemos ese punto B) y separado 4 km del punto O hay un punto de control donde el encargado del faro
vive. Si él puede remar a una velocidad de 4 km/h y caminar a 5 km/h. ¿Qué camino le permite viajar entre el faro y el punto de control en el menor tiempo posible?

Este problema es muy especial ya que involucra velocidad y tiempo, por tanto debe hacerse uso de los conceptos básicos de la física para establecer una función de tiempo que es la que debe minimizarse.

Adicionalmente el problema presenta una dificultad adicional, el valor crítico que se encuentra al igualar la derivada a cero está por fuera del intervalo de valores que necesitamos para minimizar la función. Por tanto en este caso el mínimo debe ser uno de los valores extremos entre los cuales se mueve nuestra variable. Para determinar cual es procedemos a evaluar la función en dichos valores y aquel cuya imagen sea menor será la respuesta a nuestro problema como se ilustra en este video tutorial

Este video hace parte de una serie de ejemplos de aplicación de la derivación en problemas de máximos y mínimos. Este problema consiste en cómo recorrer una distancia para optimizar el tiempo. Este problema puede ser considerado un clásico dentro de los problemas de maximización y minimización. Ahora bien, nos dicen que un faro se encuentra ubicado de tal forma que se encuentra a 4km del punto más cercano a la costa (El punto del faro lo llamamos A, el punto más cercano de la costa lo llamamos O). En otro punto (llamemos ese punto B) y separado a 4km del punto O hayu n punto de control donde el encargado del faro vive. Si él puede remar 4kmhh y caminar 5km/h, la pregunta es ¿Qué camino le permite viajar entre el faro y el punto de control en el menor tiempo posible? En este tipo de problemas debemos siempre formar las cantidades del problema, en este en particular, se hace algo complejo porque las distancias pueden ser arbitrarias. Recordemos, nos están pidiendo el camino que le permiten viajar entre A y B en el menor tiempo posible, lo que quiere decir que debemos encontrar una función “t” para minimizar, es decir, tenemos que encontrar tiempo. 

El problema es algo complejo ya que involucra velocidad y tiempo, para lo cual debemos hacer uso de las fórmulas de la física para poder establecer la función del tiempo que debemos minimizar. Hasta ahora tenemos que usar varios conceptos, meter una variable que no teníamos, expresar las distancias utilizando Pitágoras y utilizar fórmulas de física. La primera parte en este tipo de problemas son de algebra y luego de cálculo. En la parte del cálculo lo que tenemos que hacer es derivar t con respecto a x para encontrar donde t se hace máximo o mínimo. Una vez tengamos la derivada debemos igualarla a cero para encontrar los valores críticos. Luego, se nos suma el problema de que el valor crítico que encontramos está fuera del intervalo de valores que necesitamos para minimizar la función. En este caso el mínimo debe ser uno de los valores extremos entre los cuales se mueve la variable (es decir 0 y 4), entonces para encontrar el mínimo evaluamos la función de t en ellos, y el mínimo es aquel cuya imagen sea menor
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