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Lección 102

Aplicación máximos y mínimos (cilindro circular) parte 3

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Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular. El volumen del cilindro deberá ser 64 centímetros cúbicos.

Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima.

Este problema sobre aplicación de máximos y mínimos es resuelto mediante una serie de pasos:

Representamos graficamente el problema y establecimos una función de área (cantidad de material a emplear) en términos del radio y la altura del cilindro. Luego con la restricción que se tiene para el volumen encontramos la altura en términos del radio y sustituimos en la función de Área para que solo sea dependiente de una variable (en este caso el radio). Para encontrar el valor que minimiza el área derivamos e igualamos a cero para encontrar el valor crítico de la función. Para verificar que este valor minimiza la función los sustituimos en la segunda derivada y encontramos que el resultado es positivo. Por tanto tenemos un mínimo.

Este video hace parte de una serie de ejemplos de aplicación de la derivación en problemas de máximos y mínimos. En este caso tenemos un problema geométrico en el cual nos dicen que se quiere construir un envase cilíndrico de base circular. El volumen del cilindro deberá ser 64 centímetros cúbicos. Finalmente nos piden hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada sea mínima. Para dar respuesta a este problema vamos a seguir los pasos descritos en videos anteriores para resolver problemas que involucren máximos y mínimos (http://www.tareasplus.com/aplicacion-maximos-y-minimos-producto-de-numeros-parte-1/). 

Realizamos la gráfica del problema, es decir, representamos un cilindro circular e identificamos las variables del problema. Recordemos que en este caso lo que nos piden es minimizar el material. Para ello vamos a plantear la función de restricción, es decir, como sea que construyamos el cilindro, siempre el volumen deberá ser de 64 centímetros cúbicos. Ahora bien identificamos las dimensiones que determinan un cilindro, como lo son el radio y la altura, y luego, recordando la fórmula de volumen, vamos a igualarla a 64, que es el volumen que nos pide. Esta sería entonces la primera función de restricción. Luego, vemos que el área del cilindro es la función que debemos maximizar. Como lo que nos piden encontrar son las dimensiones, identificamos esas variables de las cuales la función área va a depender. En este ejemplo, el problema más complicado consiste en encontrar el área lateral del cilindro, la cual podemos encontrar representando el cilindro en un rectángulo, como si desenvolviésemos el cilindro, y encontrando así el área del rectángulo. Luego vemos que encontramos la segunda ecuación que es la función área. 

El problema es que el área en este caso depende de dos variables, radio y altura, y para poder encontrar los valores críticos que minimizan el área, debemos expresarla en términos de una sola variable. Para solucionar esto, en la ecuación de restricción despejamos una variable y sustituimos en la ecuación del área. Finalmente vamos a expresar el área en función de radio. Ahora, como tenemos el área expresada en términos de radio, para encontrar los máximos y mínimos, procedemos a encontrar la derivada e igualando a cero para encontrar el valor crítico de la función. Para verificar que el radio encontrado minimiza la función, el camino más apropiado es utilizar la segunda derivada y sustituimos el valor. Como encontramos un valor positivo podemos decir que encontramos un mínimo.
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