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Lección 105

Aplicación máximos y mínimos (Cono circunscrito) 1

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Hallas las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se pueden circunscribir en una esfera de radio R.

Este problema de mayor complejidad lo dejamos para el final de nuestros video tutoriales acerca de la aplicación de la derivada para encontrar máximos y mínimos.

La restricción del problema es la circunscripción del cono en la esfera y la función a minimizar es el volumen.

En esta primera parte se encuentra el volumen como función de una sola variable, para hacerlo se hace uso del concepto de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras. Luego procedemos a derivar para encontrar los valores críticos de la función de volumen.

En este video solucionaremos un problema clásico que existe de optimización, en este caso encontrar un volumen mínimo, el problema es el siguiente: Hallas las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se pueden circunscribir en una esfera de radio R. Entonces lo primero que debemos hacer es identificar la variable que nos piden optimizar, en este caso es el volumen del cono, si nos basamos en el gráfica vista en el video vemos que el volumen del cono es: V=(1/3)(π)(x^2)(y+R), esta es la función que tenemos que minimizar, el problema que surge con este tipo de función es que esta depende de dos variables, en este caso de la variable x y la variable y, por lo tanto debemos encontrar una forma de relacionar x y y antes de minimizar esta función, para lograr esto hagamos uso de las restricciones del problema, como vemos nos dicen que el cono debe estar circunscrito en una circunferencia, basados en la gráfica del video observemos que el triángulo ∆ADE y el triángulo ∆ABC son rectángulos y son semejantes por el criterio de ángulo-ángulo, entonces tenemos que: x/R=(y+R)/√(y^2-R^2), si despejamos a x de esta relación, tenemos que x=R(y+R)/√(y^2-R^2), entonces reemplazando este valor en la función que debemos minimizar tenemos que: V=(1/3){[(π)(R^2)(y+R)^3]/[(y^2-R^2)]}, una vez que hemos expresado nuestra función en términos de una sola variable procedemos a derivar la función, luego igualar esta derivada a cero y hallar los puntos críticos para analizar los máximos y mínimos de la función usando el criterio de la segunda derivada. En este video se llega hasta la obtención de la derivada de la función del volumen, en los videos posteriores se hallaran los valores críticos y se obtendrán los mínimos de la función.
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