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Lección 127

Ángulo de corte entre dos curvas parte 1

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Uso del cálculo diferencial para encontrar el ángulo entre dos curvas que se cortan en un punto.

En este primer video se da el marco teórico básico para resolver problemas de esta naturaleza con un par de ejemplos

El proceso consiste en determinar primero el punto o puntos de corte de las curvas. Seguido a eso se calculan las derivadas de las curvas y se evalúan los puntos para encontrar las pendientes de las rectas tangentes a dichas curvas. Acto seguido se usan dichas pendientes en la fórmula dada por la geometría analítica para encontrar el ángulo entre dos rectas
En este video veremos una de las aplicaciones del cálculo diferencial, en este caso veremos como encontrar el ángulo de corte entre dos curvas. Supongamos que tenemos dos funciones f(x) y g(x) que se cortan en el punto (x0,y0), lo que queremos encontrar es el ángulo α que es el ángulo que forman estas dos funciones entre sí cuando se cortan. Observemos que por el punto (x0,y0) pasan líneas tangentes a f(x) y a g(x) tal como se muestra en la figura del video, entonces haciendo uso de la geometría analítica podemos hallar el ángulo que existe entre dos curvas utilizando para ello la siguiente expresión: tanα =[(m2-m1)/(1+m1m2)], en donde m1 y m2 son las pendientes de las respectivas rectas. 

Para ver como se aplica esta expresión el video nos propone resolver el siguiente ejemplo: Halle el ángulo de corte entre las siguientes funciones: y= √x y y=1, entonces para resolver este tipo de problemas lo primero que debemos hacer es hallar el punto de corte entre estas dos funciones, para esto igualamos las y cono lo que tenemos: √x =1, si despejamos x, vemos que esta adquiere un valor de x=1, reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones obtenemos que y =1, por lo tanto el punto de corte entre estas dos funciones es (1,1), una vez hallado este punto debemos hallar las pendientes de cada una de las funciones con el fin de reemplazarlas en la fórmula, para hallar estas pendientes lo que debemos hacer es hallar las derivadas de las funciones y evaluarlas en el punto (1,1), entonces d/dx(√x) = 1/2 √x, si evaluamos en el punto( 1,1) = d/dx(√x)= 1/2√x= 1/2, y d/dx(1)=0, como ya tenemos la derivadas procedemos a reemplazarlas en la fórmula, tenemos entonces que: tanα= =[(1/2-0)/(1+0(1/2)] =1/2, si sacamos tangente inversa de la función obtenemos que el ángulo de corte es: α=26.6°.
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