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Lección 35

2 límites especiales

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Solución de dos límites indeterminados cero sobre cero que son de uso común en cálculo.

El primer límite es de la función 1 - cosx sobre x cuando x tiende a cero y el segundo es de la función x^n - a^n sobre x-a cuando x tiende a "a". Ambos resueltos mediante manipulación algebraica

En este video veremos la demostración de dos límites que se consideran especiales, debido a que se presentan muy a menudo en el cálculo de límites trigonométricos, el primero de estos límites es el siguiente: lim(x→0)[(1-cosx)/x]= 0, como vemos si evaluamos la función en 0 obtenemos la indeterminación 0/0 ya que el 0 no forma parte del dominio de la función, entonces si recordamos de los videos anteriores que lo que se hace en estos casos es emplear alguna herramienta matemática para eliminar la indeterminación podemos encontrar el valor para este límite, para este caso multiplicaremos tanto al numerador como al denominador por 1+cosx con lo que el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→0)[1-cosx]= lim(x→0)[(1-cosx)/x][(1+cosx)/1+cosx)]= lim(x→0)[(sen^2x)/x(1+cosx)], si separamos esta expresión como una multiplicación de términos y teniendo en cuenta que el límite de un producto es igual al producto de los límites de cada una de las funciones, tenemos que: lim(x→0)[(sen^2x)/x(1+cosx)]= lim(x→0)[(senx)/x][senx/(1+cosx)]= {lim(x→0)[(senx)/x]}x{ lim(x→0) [senx/(1+cosx)]}, como vemos nosotros conocemos el límite del término de la izquierda ya que lo habíamos demostrado en un video anterior y sabemos que tiene un valor de 1, tenemos entonces que el límite de esta función es: lim(x→0)[(1-cosx)/x]=(1){ lim(x→0)[senx/(1+cosx)]}= 1(0/2) =0. 

El segundo límite que queremos demostrar es: lim(x→a)[(x^n-a^n)/(x-a)] , como vemos si evaluamos la función en a obtenemos la indeterminación 0/0 ya que la a no forma parte del dominio de la función, entonces para resolver este problema factorizamos el numerador con lo que el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→a)[(x^n-a^n)/(x-a)]= lim(x→a)[(x-a)(x^n-1+a(x^n-2)+a^2(x^n-3)+..x(a^n-2)+a^n-1)/(x-a)], como vemos se elimina la indeterminación ya que se cancela el término (x-a) del denominador, luego si evaluamos en a esta función y aplicando las propiedades de los exponentes llegamos a que el límite de esta función es: lim(x→a)[(x^n-a^n)/(x-a)]=n(a^n-1).
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JOSE GABRIEL VEGA FORERO dice:
Saturday, July 7, 2018
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Buenas tardes, en que link encuentro la explicación de la factorización de (x^n-a^n)

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