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Lección 17

Los números primos son infinitos (demostración)

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Demostración matemática mediante reducción al absurdo de que los números primos son infinitos. Para hacerlo reformulamos el teorema demostrando en realidad que no existe un primo P que sea el mayor de todos los primos En este video realizamos la demostración matemática mediante reducción al absurdo de que los números primos son infinitos. El teorema, realizado por Euclides, que nos decía que los números primos son infinitos, que también podemos expresar como que no existe un número primo que sea el mayor de todos. Si decimos que no hay un número primo que sea el mayor de todos, quiere decir que los números primos crecen infinitamente. Para demostrar este teorema hacemos uso de la reducción al absurdo. La reducción al absurdo es suponer que si existe un número primo que es mayor que todos los primos, al cual llamaremos P. Si decimos que ese número existe, podríamos decir entonces que hay un número primo P1, P2, etc, hasta llegar a Pn, o P que sería el número primo más grande. Construimos un número que sería el producto de todos los anteriores números (en el ejemplo lo llamamos Q), que sería obviamente, mayor que todos los números primos por ser el producto. Luego construimos otro número (R) el cual sería un número más que Q. Con R lo que hacemos es encontrar un número que es una unidad mayor que Q, el cual puede ser primo o no puede ser primo. Si R es primo quiere decir que acabamos de llegar a un número que es mayor y a la vez es primo, lo que quiere decir que existe un número primo que es mayor que el anterior. Puede suceder también que R no sea primo, y puede ser descompuesto también en factores primos, lo que quiere decir que existe un primo cualquiera (al que llamamos D) que divide a R, y no puede ser ninguno de los P, porque si lo fuese, lo que tenemos es que el cociente entre Q y Pn, va a ser todo ese producto hasta antes de Pn, más 1 dividido entre D, lo cual sería una contradicción porque resultaría un número primo. Cuando lleguemos a contradicciones, lo que podemos concluir es que no existe un número P que sea mayor de todos los primos.
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