La solución general del sistema no homogeneo es la suma de la solución general del sistema homogeneo y una solución particular del sistema no homogeneo. En el video se hace la demostración de este teorema A continuación se prueba el teorema para sistemas no homogéneos que nos dice que si el sistema Ax=B es consistente, entonces la solución general se puede escribir como la suma de una solución particular del mismo más la solución general del sistema homogéneo asociado. Para comenzar sabemos que tenemos un sistema del tipo Ax=B donde A va a pertenecer al conjunto de matrices de orden nxm, perteneciente al conjunto de los Reales. Entonces B pertenece al conjunto de las matrices de orden nx1. Al sistema general, Ax=B, se le asocia un sistema homogéneo Ax=0, y un X~ que sea solución al sistema general, lo que quiere decir que Ax~ es equivalente con B. En realidad lo que estamos suponiendo es que Ax~= B, y que esta es una solución arbitraria. Una vez estemos en este punto buscamos una solución Xp conocida, de manera que podamos decir que Axp=B. Luego buscamos un Xh que sea igual a X~ menos Xp, es decir que X~ que es la solución general, se puede escribir como la solución al sistema homogéneo más la solución particular, que es exactamente lo que queríamos probar. Finalmente, y como una consecuencia, podemos decir tranquilamente que cuando consideramos el sistema Ax=B, pueden ocurrir tres casos: que no tenga solución, que tenga única solución, o que tenga infinitas soluciones.
