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Lección 50

Producto de Matrices: Propiedad Asociativa

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En este video se explica como se cumple la propiedad asociativa en el producto de matrices En este video haremos la demostración de que el producto de matrices cumple con la propiedad asociativa, es decir que si hay compatibilidad entre los ordenes de las matrices A, B y C y queremos calcular el producto (AB)C va ser lo mismo que si calculáramos el producto entre A(BC). Para realizar esta demostración supongamos que tenemos tres matrices compatibles definidas de la siguiente manera: A=(aij)mn, B=(bij)np y C(cij)pq, donde mn, np y pq son los ordenes respectivos de las matrices, si realizamos el producto entre la matriz A y la matriz B, tenemos que A*B=(dij) donde el sufijo i nos indica que estamos tomando los valores de la fila i de la matriz A y el sufijo j nos indica que estamos tomando los valores de la columna j de la matriz B, tenemos además, que las filas de la matriz A tienen la siguiente forma estructural (ai1,ai2,ai3,….ain) y que las columnas de la matriz B tienen la siguiente forma estructural (b1j,b2j,b3j,…bnj), entonces el producto entre las matrices se puede expresar como: A*B=(dij)=∑(aik)(bkj), con la sumatoria entre K=1 y K=n. Ahora llamemos el producto entre A y B como D, es decir, A*B=D y multipliquemos a la matriz D por la matriz C, D*C=eij=∑(dik)(ckj), con la sumatoria entre K=1 y K=n, si reemplazamos la expresión que habíamos hallado para dik en la sumatoria tenemos que el producto entre la matriz D y a matriz C es: D*C=eij=∑∑(air)(brk)(ckj), con la sumatoria externa entre K=1 y K=p y la sumatoria interna entre r=1 y r=n, como vemos estas sumatorias implican sumas por lo que se puede cambiar el orden de la sumatoria y pasar la sumatoria interna a ser la sumatoria externa, al hacer esto, podemos sacar los términos que no dependen de K, quedando así el producto expresado como: ∑(air) ∑(brk)(ckj) , si relacionamos la sumatoria interna con las definiciones anteriores se llega a la demostración de que el producto de matrices es asociativo.
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