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Lección 9

Matrices Inversibles: Parte 3

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Este video continua explicando matrices inversibles. Parte 3 En este video seguiremos hablando acerca de matrices invertibles , digamos que tenemos una matriz A con entradas en la primera fila (a,b) y entradas en la segunda fila (c,d), nuestra tarea será determinar una matriz B perteneciente al conjunto de las matrices de orden 2X2 con entradas de números reales de modo tal que AB=BA=In, para realizar esta demostración lo primero que haremos será asumir que la matriz B existe y que esta matriz tiene entradas en la primera fila (x,y) y entradas en la segunda fila (z,u), si calculamos el producto entre la matriz A y la matriz B, obtenemos un matiz cuadrada con entradas en la primera fila (ax+bz, ay+bu) y entradas en la segunda fila (cx+dz, cy+du) y decimos entonces que si asumimos que B existe que a matriz resultado de la multiplicación AB es igual a la matriz identidad, entonces teniendo en cuenta la definición de matriz identidad tenemos que necesariamente se deben cumplir estas ecuaciones ax+bz=1, cx+dz=0 y que ay+bu=0 y cy+du=1, como vemos en la primera parte tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y en la segunda parte otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, debemos tener en cuenta que las entradas a,b,c y d son conocidas de antemano. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, si resolvemos el primer sistema de ecuaciones, vemos que se llega a la siguiente expresión: (da-bc)x=d, el término dentro del paréntesis es comúnmente conocido como delta de A( ∆), entonces si despejamos a x de esta expresión, obtenemos x=d/∆, realizando procedimientos similares tenemos que z=-c/∆, y =-b/∆ y u=a/∆. Hemos hecho todo estos procedimiento con el fin de decir que si la matriz B existe de tal manera que AB=In, la matriz B debe tener entradas del siguiente tipo, las entradas de la primera fila son (d/∆, -b/∆) y las entradas de la segunda fila son ( -c/∆, a/∆), observemos que en eta matriz los elementos a y d cambian de posición entre si y los signos de b y c cambian de positivo a negativo. Este procedimiento, nos lleva a la conclusión de que una matriz es invertible si ∆ es diferente de cero.
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