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Lección 44

Matrices Elementales: Parte 3

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Este video continua explicando matrices elementales y enuncia más teoremas aplicados a estas matrices. Parte 3 En este video continuaremos con el estudio de las matrices elementales enunciando algunos teoremas que se aplican a este tipo de matrices, recordemos entonces que es una matriz elemental: Decimos que una matriz A es elemental si A se obtiene a partir de una operación elemental en la matriz identidad In. Enunciemos nuestro primer teorema: Si A es una matriz de orden n tal que AϵMn(Re) y si el sistema Ax=0 tiene solución trivial entonces A es equivalente con la matriz identidad , para probar este teorema partimos del hecho de que nos dicen que el sistema Ax= 0 tiene solución trivial , lo que quiere decir que los valores x1=x2….=xn= 0 coinciden y son iguales a cero, basados en esto, podemos decir que el sistema Inx=x1=x2….=xn=0., observemos que para estas dos ecuaciones se cumplan simultáneamente se debe cumplir que la matriz A es equivalente con la matriz identidad ya que de no ser asi estaríamos hablando de que en algún momento se pasa a tener soluciones infinitas y o que uno de los elemento de la matriz A pasa a ser un parámetro que puede tomar cualquier valor diferente de cero. Enunciemos otro teorema: Sea A una matriz de orden n, es decir AϵMn(Re) y que el sistema Ax=0 tiene solución trivial decimos entonces que si este sistema tiene solución trivial A es invertible, para demostrar esto partimos de las definiciones dadas en los videos anteriores que nos decían que si Ax = 0, A era equivalente con la matriz identidad, pero decir que la matriz A es equivalente a la matriz identidad es decir que la matriz A es invertible. En el video se realiza también la demostración de que si A es equivalente a la matriz identidad A tiene que ser necesariamente invertible.
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