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Lección 122

Solución ecuación cúbica CASO I (raíces iguales)

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Solución de una ecuación cúbica mediante el uso de la fórmula general para hallar las raíces de un polinomio de tercer grado. En este caso las raíces son reales y dos de ellas son iguales. Esto se deduce del hecho de que en la fórmula para encontrar la primera solución a Z1 la sección donde se tienen raíces cuadradas son iguales a cero. Cómo solucionar una ecuación cúbica? En este video vamos a mostrar paso a paso cómo utilizar la fórmula que nos permite solucionar una ecuación cúbica. La fórmula la dedujimos en dos videos anteriores donde mostramos paso a paso cómo a partir de un polinomio de grado tres podemos llegar a que se expresen sus tres raíces con letra Z (las tres raíces nos la garantiza el teorema fundamental del álgebra). Sustituyendo Z vamos a encontrar los valores de X, lo cual haremos en el ejemplo del video. Este ejemploo es muy particular porque cuando hablamos de la fórmula en los videos anteriores habíamos dicho que se presentaban tres posibilidades para las cantidades que tenemos en la fórmula. Recuerden que la cantidad que tenemos dentro de la raíz cuadrada puede tener tres valores: igual a cero, mayor que cero o menor que cero. En el ejemplo del video vamos a ver que la expresión nos va a dar que es igual a cero. Habíamos dicho que si lo que está adentro de la raíz nos da igual a cero, al menos dos de las raíces del polinomio iban a ser iguales; que si eran mayor que cero las tres raíces eran reales y distintas; y que si era mayor que cero, o sea positivas, nos va a dar dos raíces complejas conjugadas; y si las raíces son negativas, o sea menores que cero, van a dar las tres reales distintas. El caso más simple de todos es cuando la raíz es igual a cero. El primer paso para resolver una ecuación cúbica es identificar los coeficientes (a, b, c, d). El segundo paso es encontrar las variables que necesito (en el caso del video j, k y l). lo hacemos reemplazando los coeficientes que tenemos del paso 1. En realidad lo que estamos haciendo es dividir cada uno de los términos entre el término llamado “a”. Teniendo las variables, podremos trabajar más fácilmente en la calculadora como decimales. El tercer paso es encontrar las variables p y q, para lo cual reemplazamos las variables obtenidas anteriormente. El último paso es encontrar Z para luego sustituir y encontrar X. En Z1 es complejo porque allí vamos a encontrar que es igual a cero. Si hacemos uso del concepto de evaluar primero las raíces obtenidas, vemos que las fracciones son iguales, y como una es negativa y la otra es positiva se anulan, es decir nos da cero, y al reemplazar encontramos Z1. De igual manera pasa con Z2, que la raíz se anula. Para el caso de z3 nos va a dar exactamente lo mismo. Cuando tenemos Z1, Z2, y Z3, debemos encontrar las raíces en términos de X, ya que el polinomio está en términos de X, para lo cual reemplazamos los valores encontrados.
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