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Lección 105

Solución de un sistema ecuaciones 3 x 3 por el método de sustitución

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Explicación de como encontrar la solución de un sistema de tres ecuaciones (lineales) con tres incógnitas mediante el uso del método de sustitución. En este caso se reduce el sistema a uno más simple 2 x 2 para posteriormente utilizar nuevamente el método de sustitución. En este video veremos el procedimiento para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de sustitución. Para ver en qué consiste este método, se propone resolver el siguiente problema: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: La primera ecuación es: 1) 2 x-y+z=-3, la segunda ecuación es: 2) 3x+2y-z=1 y la tercera ecuación es: 3) x-3y+2z=-6. Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es despejar una de las incógnitas de cualquiera de las tres ecuaciones, en nuestro caso despejaremos la incógnita z de la ecuación 1) , como vemos al despejar a z de 1) tenemos que: z=-3-2x+y, nombremos esta ecuación como 4), una vez hecho esto lo que debemos hacer es sustituir a z en las otras dos ecuaciones que no hemos utilizado, es decir en la ecuación 2) y en la ecuación 3), al sustituir a z en la ecuación 2) tenemos que: 3x+2y-(-3-2x+y)=1 , simplificando esta expresión, tenemos: 5x+y=-2, nombremos esta ecuación como 5), al sustituir el valor de z en la ecuación 3) tenemos que: x-3y+2(-3-2x+y)=-61, simplificando esta expresión, tenemos: -3x-y=0, nombremos esta ecuación como 6), como vemos lo que tenemos ahora es dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que debemos hacer ahora es utilizar nuevamente la sustitución en este sistema para resolver así el sistema de ecuaciones en su totalidad, entonces, despejando a y de la ecuación 5) tenemos que: y=-2-5x, nombremos esta ecuación como 7), si sustituimos a 7) en la ecuación 6) tenemos que: -3x-(-2-5x)=0 , simplificando esta expresión vemos que obtenemos el valor de x=-1, con este valor de x podemos encontrar el valor de y si sustituimos este resultado en la ecuación 7) , reemplazando el valor de x en esta ecuación tenemos que y= 3, como ya tenemos el valor de x y y podemos encontrar el valor de z reemplazando estos valores en la ecuación 4), si reemplazamos los valores de x y y en 4) tenemos que z=2.
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