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Lección 103

Solución de un sistema ecuaciones 3 x 3 por el método de igualación

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Se explica como encontrar la solución de un sistema de tres ecuaciones (lineales) con tres incógnitas mediante el uso del método conocido como igualación. En este caso se reduce el sistema a uno más simple 2 x 2 para posteriormente utilizar nuevamente el método. En este video veremos el procedimiento para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de igualación. Para ver en que consiste este método, se propone resolver el siguiente problema: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: La primera ecuación es: 1) x+y+z=4, la segunda ecuación es: 2) x-2y+2z=-1 y la tercera ecuación es: 3)2x-2y+3z=1. Para resolver este sistema de ecuaciones por este método lo primero que debemos hacer es seleccionar la incógnita que vamos a despejar de cada una de las tres ecuaciones, si escogemos a x como la incógnita a despejar el sistema queda de la siguiente manera: 1*) x=4-y-z, 2*)x=-1+2y-2z, por último 3*) x=(1-2y-3z)/2, una vez hecho esto, debemos notar que para que el sistema de ecuaciones sea congruente la x debe tomar el mismo valor en las tres ecuaciones, así que podemos igualar las ecuaciones de la siguiente manera: De 1*) y 2*) 4-y-z= -1+2y-2z y de 1*) y 3*) 4-y-z=(1-2y-3z)/2, como vemos el sistema resultante queda como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, en este caso las incógnitas son y y z, utilizando nuevamente el método de igualación, tenemos que despejando la letra y de ambas ecuaciones el sistema de ecuaciones se convierte en : De 1*) y 2*)y-2y= -1-2z-4+z, efectuando las operaciones tenemos: -3y=(-5-z), despejando y= (-5-z)/-3, nombremos esta ecuación como 4).Ahora de la ecuación 1*) y 3*)-2y-2y= 1-3z-8+2z, efectuando las operaciones tenemos:-4y=-7-z, despejando y=(-7-z)/-4, nombremos esta ecuación como 5), como vemos para que el sistema de ecuaciones sea congruente la y debe tomar el mismo valor, entonces si igualamos 4) y 5) tenemos: (-5-z)/-3=(-7-z)/-4, como vemos, esta ecuación sólo depende de z, si despejamos z tenemos que z= 1, si reemplazamos este valor en la ecuación 4) ó 5) podemos encontrar el valor de y, reemplazando el valor de z en la ecuación en 4) tenemos que y= 2, como ya tenemos el valor de y y z podemos encontrar el valor de x reemplazando estos valores en 1*) ó 2*) ó 3*), si reemplazamos los valores de y y z en 1*) tenemos que x=1.
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