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Lección 121

Fórmula para solucionar la ecuación cúbica parte 2

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Deducción de la fórmula para solucionar la ecuación cúbica, también conocida como la ecuación general de tercer grado. En esta parte finalizamos encontrando la fórmula que requiere a su vez de sucesivas sustituciones antes de poder emplearla. Cabe anotar que dicha fórmula en realidad da resultado a un solo valor del polinomio y que las otras dos soluciones requieren una fórmula adicional. Esta fórmula en realidad consta de tres partes. Continuamos con la deducción de la fórmula para encontrar las raíces de la ecuación cúbica. Hemos hecho una serie de sustituciones que nos llevaron finalmente a esta ecuación y luego hicimos una nueva sustitución para z con la suma de un par de variables nuevas u y v. al hacer esta sustitución llegamos a esta ecuación con varias conclusiones donde obtenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que encontrar. Mostraremos la solución a continuación. Lo primero para hacer es formar una nueva ecuación que llamaremos uno prima, es elevar al cuadrado ambos lados a uno. Como elevo al cuadrado a la derecha también lo hacemos a la izquierda y esa es la operación uno prima. Vamos a formar dos prima. Lo único que tenemos que hacer es multiplicar por cuatro a ambos lados. Si hacemos la diferencia entre uno prima y dos prima lo que vamos a tener es una relación que se llamara de cualquier forma, con esa relación vamos a obtener es una factorización. Vamos a formar una nueva ecuación que se llamará tres y es muy importante. Quienes quieran resolver este sistema de ecuaciones mediante sustitución lo puede hacer, el problema de hacer esto es que se va a formar una ecuación cuadrática que va a requerir la fórmula de la ecuación cuadrática y se volverá algo tedioso. Z tiene tres raíces, recuerden que tenemos una ecuación cúbica con tres soluciones pero como hacemos, si ya tenemos una solución es supremamente simple porque podemos partir de la ecuación. Puedo hacer uso del concepto de división de polinomios con Ruffini. Yo acabo de factorizar el de grado tres, como el producto de un factor lineal por una ecuación cuadrática, y esta la se solucionar por fórmula, que tiene dos formas de solucionarse así que posee dos soluciones. Para entender esto se invita a ver algunos ejemplos para ver el uso de estas fórmulas. Se dice entonces que este tipo de ecuaciones tiene tres casos, así como en la ecuación cuadrática teníamos tres casos. Entonces los invito a que veamos nuestros ejemplos para cada uno de esos casos.
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