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Lección 120

Fórmula para solucionar la ecuación cúbica parte 1

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Deducción de la fórmula para solucionar la ecuación cúbica, también conocida como la ecuación de tercer grado. Este método al parecer fue publicado por Gerolamo Cardano que según algunos historiadores copió de Niccolo Fontano Tartaglia. Quién a su vez hizo lo mismo de Scipione del Ferro. Finalmente hoy esta fórmula se conoce con el nombre de la fórmula de cardano, ya que este fue quien la finalmente la publicó. En este procedimiento partimos de un polinomio de grado tres igualado cero y mediante una serie de "artilugios matemáticos" lo convertimos en un polinomio más simple del mismo grado pero sin término cuadrático, lo cual nos permite deducir finalmente la fórmula al partir de una expresión más simple. Esta vez queremos demostrar un método para solucionar una ecuación cúbica general, es decir, encontraremos la formula que nos permita encontrar las raíces de la ecuación cúbica. Recordemos que la ecuación cúbica, según el teorema fundamental del álgebra, tres soluciones, que pueden ser todas tres reales, o un par de raíces complejas conjugadas y una real. Inclusive dentro de las tres reales se pueden presentar varios casos: que las tres sean iguales, osea una raíz de multiplicidad tres; que dos sean iguales y una distinta; o que las tres sean distintas. Para empezar con la deducción con la fórmula, la reescribimos dividiéndola toda por el término a, una cosa importante es que este término siempre será distinto de cero, porque si este es cero estaríamos hablando de una ecuación cuadrática. La ecuación resultante la cambiamos de forma que quede más simple, haciendo una sustitución (en este caso escogimos j, k, l como los términos para sustituir), para que los coeficientes no tengan denominador, y nos queda la forma canónica de la ecuación cúbica. Debemos luego convertir esa ecuación a una forma más simple que es la forma reducida, la cual se llama así porque no vamos a tener ningún término al cuadrado (escogimos entonces la letra z para sustituir) y resolvemos el cubo resultante. Luego, como vemos, tenemos un cuadrado por resolver. Vamos reescribiendo la fórmula y simplificando para que sea más fácil entenderla, para lo cual puede ser útil si sacamos factor común para que quedemos con coeficientes sencillos y nos quede una ecuación cúbica sin expresiones cuadráticas. Incluso, si hacemos una nueva sustitución, podemos simplificarla aún más de modo que podamos hablar de una ecuación cúbica reducida (en este video escogimos la letra p). La ecuación resultante es una ecuación cúbica reducida y es la que solucionamos. Este procedimiento ideado por un matemático italiano, es bastante complejo, por lo cual entonces se recomienda partir de la fórmula general.
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