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Lección 87

Casos de factorización: suma y diferencia de potencias iguales 2

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En este video se explica cómo factorizar una suma o diferencia de potencias iguales mediante el uso de la división por la diferencia o suma de los términos que se encuentran elevados a la n. Se desarrollan una serie ejemplos resueltos se muestra cómo factorizar a^n-b^n y a^n+b^n. En un video anterior veíamos cómo podíamos encontrar la descomposición factorial de una suma o diferencia de dos potencias iguales, en este video vamos a ver problemas resueltos que nos ayuden a reforzar lo visto en el video anterior. Comencemos con el primer ejemplo: Factorizar la siguiente expresión: 1+243(a^5), para resolver este problema lo primero que debemos hacer es determinar si la potencia de los términos son iguales, como vemos para este problema las potencias son iguales debido a que yo puedo expresar al número 1 como 1^5 y al número 243 como 3^5, podemos expresar entonces la ecuación a factorizar como: 1^5+(3^5)(a^5)= 1^5+(3a)^5 , ya que la potenciación es distributiva con respecto al producto, una vez hecho esto lo próximo que debemos hacer es identificar en cual de los casos cae la expresión a factorizar, para identificar cual de los casos estamos tratando nos remitimos al cuadro que esta en la parte superior del video, como vemos, nuestro problema esta en el caso de suma de a^+b^n, con n impar, lo cual nos indica que debemos dividir la expresión por a+b, al efectuar esta división tenemos que:[ 1^5+(3a)^5]/1+3a = 1^4- (1^3)(3a) + (1^2)(3a)^2 -(1)(3a)^3 +(3a)^4, como vemos una manera de efectuar fácilmente este tipo de divisiones es notando que en el primer término va el término ´´a´´ que en este caso es 1^5 y que en el último término va el término ´´b´´ que en este caso es 3a elevado a la mayor potencia y en los términos de la mitad van las multiplicaciones de los términos ´´a´´ por ´´b´´, en este caso (1)(3a) y que los exponentes a los que va elevado el número 1 disminuye de derecha a izquierda y los exponentes a los que va elevado 3a disminuyen de izquierda a derecha. Una vez realizada la división lo que hacemos es usar la propiedad de la división que nos dice que el dividendo es igual al producto entre el cociente y el divisor, con lo que nuestra expresión queda factorizada finalmente.
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