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Lección 85

Casos de factorización: suma y diferencia de cubos 3

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Serie de ejemplos resueltos sobre la factorización de suma y diferencia de cubos. En este video se muestra como forzar la factorización para x-y como una diferencia de cubos de forma tal que dicho resultado pueda usarse en cursos más avanzados de matemáticas. En un video anterior veíamos el procedimiento para factorizar la suma y diferencia de cubos, en este video veremos algunos problemas resueltos donde se aplica este método de factorización, antes de comenzar con los problemas recordemos las expresiones que nos servirán para resolver este tipo de ejercicios, por un lado teníamos que la expresión para factorizar un suma de cubos era: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) y la expresión para factorizar la diferencia de cubos era: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). Procedamos ahora a resolver el siguiente problema: Factorizar la siguiente expresión: 32(x)^3-4(y+z)^3, para resolver este problema lo primero que debemos hacer es determinar si los términos de la expresión poseen raíz cúbica exacta, como vemos el término 32(x)^3 y el término 4(y+z)^3 presentan problemas debido a que el número 32 y el número 4 no poseen raíz cúbica exacta, es decir que no existe un número que multiplicado 3 veces por si mismo sea igual a el número 32 o al número 4, se podría pensar entonces que este problema no sería posible resolverlo aplicando este método, sin embargo si es posible, simplemente debemos tener en cuenta si existe algún factor común en toda la expresión antes de aplicar el método, vemos que la expresión tiene al número 4 como factor común, teniendo en cuenta este factor común la expresión queda de la siguiente manera: 4[8(x)^3-(y+z)^3], como podemos los términos que quedan dentro del corchete poseen raíz cubica exacta la raíz cúbica de 8(x)^3 es 2x y la raíz cúbica de (y+z)^3 es (y+z), al poseer raíz cúbica exacta podemos aplicar entonces la ecuación para la diferencia de cubos con lo que la factorización queda entonces de la siguiente manera: 32(x)^3-4(y+z)^3= 4[(2x-y-z)((2x)^2+2x(y+z)+(y+z)^2]= 4[(2x-y-z)(4x^2+2xy+2xz+(y+z)^2], podemos dejar el resultado de esta manera o simplificarlo aun más al notar que el último término de la factorización es un binomio elevado al cuadrado. En el video se muestran muchos más problemas resueltos donde se aplica este técnica de factorización.
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