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Lección 24

Ejemplo de velocidad y aceleración instantáneas

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Ejemplo de velocidad y aceleración instantáneas:

Veremos en esta lección, para terminar este curso de cinemática, los siguientes ejemplos de velocidad y aceleración instantáneas:
 

  • Un objeto se mueve según la ecuación de movimiento x(t) = 6t3 - t2 + 4t + ½, con x en metros y t en segundos. Hallar la velocidad del móvil en los instantes t = 0 y t = 10 s.


Empezamos mostrando una gráfica de esta ecuación de movimiento, que es una ecuación posición–tiempo, en la cual podemos ver que el móvil se desplaza en una sola dirección, la dirección positiva del eje X, y que su velocidad es siempre positiva, pues se puede ver gráficamente que la pendiente de esta curva posición–tiempo es siempre positiva. Descartamos una parte de la gráfica y dejamos solo la parte correspondiente al semieje positivo t, pues el tiempo es siempre positivo.

Para hallar la velocidad del móvil en los instantes t = 0 y t = 10 s, debemos hallar la ecuación velocidad–tiempo, derivando esta ecuación posición–tiempo con respecto al tiempo, pues recordemos que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Derivando esta ecuación obtenemos que la ecuación velocidad–tiempo es v(t) = x’(t) = 18t2 - 2t + 4. Para hallar la velocidad del móvil en el instante t = 0, evaluamos la función velocidad en t = 0, es decir que reemplazamos t por 0 en la ecuación velocidad–tiempo, y obtenemos que v(0) = 18(0)2 - 2(0) + 4 = 0 - 0 + 4 = 4. Agregamos la unidad de velocidad en el Sistema Internacional de Unidades, que es m/s, y obtenemos que la velocidad del móvil en el instante t = 0 es 4 m/s. Para hallar la velocidad del móvil en el instante t = 10 s, evaluamos la función velocidad en t = 10 s, es decir que reemplazamos t por 10 en la ecuación velocidad–tiempo, y obtenemos que v(10) = 18(10)2 - 2(10) + 4 = 1800 - 20 + 4 = 1784. Agregamos la unidad de velocidad en el Sistema Internacional de Unidades, que es m/s, y obtenemos que la velocidad del móvil en el instante t = 10 s es 1784 m/s. Se muestra luego la gráfica velocidad–tiempo, en la que se ve que la velocidad aumenta muy rápidamente.
 

  • Hallar la aceleración del móvil en los instantes t = 0 y t = 10 s.


Para hallar la aceleración del móvil en los instantes t = 0 y t = 10 s, debemos hallar la ecuación aceleración–tiempo, derivando esta ecuación velocidad–tiempo con respecto al tiempo, pues recordemos que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Derivando esta ecuación obtenemos que la ecuación aceleración–tiempo es a(t) = v’(t) = 36t - 2. Para hallar la aceleración del móvil en el instante t = 0, evaluamos la función aceleración en t = 0, es decir que reemplazamos t por 0 en la ecuación aceleración–tiempo, y obtenemos que a(0) = 36(0) - 2 = 0 - 2 = -2. Agregamos la unidad de aceleración en el Sistema Internacional de Unidades, que es m/s2, y obtenemos que la aceleración del móvil en el instante t = 0 es -2 m/s2, una aceleración negativa, lo que nos dice que el móvil está disminuyendo su velocidad en el instante t = 0. Para hallar la aceleración del móvil en el instante t = 10 s, evaluamos la función aceleración en t = 10 s, es decir que reemplazamos t por 10 en la ecuación aceleración–tiempo, y obtenemos que a(10) = 36(10) - 2 = 360 - 2 = 358. Agregamos la unidad de aceleración en el Sistema Internacional de Unidades, que es m/s2, y obtenemos que la aceleración del móvil en el instante t = 10 s es 358 m/s2. Se muestra luego la gráfica aceleración–tiempo, en la que se ve que la aceleración aumenta muy rápidamente, lo que explica el aumento tan abrupto de la velocidad.
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