Transformada de laplace de la función exponencial

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Método para encontrar la transformada de laplace de la función exponencial partir de la definición de la transformada como integral impropia
Se procede primero por encontrar la integral indefinida que hace parte de la impropia y luego se encuentra el límite que se forma por la integral impropia
la tranformada de e^at es 1/(s-a)

En este video veremos como encontrar la transformada de Laplace de la función exponencial f(t)=(e^at), es decir: L[e^at]. Recordemos la definición de la trasformada de Laplace para una función f(t) es: L[f(t)]=∫(e^(-st) )f(t)dt, evaluada entre cero e infinito, entonces aplicando la definición de transformada de Laplace y teniendo en cuenta que f(t)=(e^at), tenemos: L[e^at]= ∫(e^(-st) )(e^at)dt, evaluada entre menos cero y más infinito, aplicando propiedades de los exponentes podemos reescribir la integral de la siguiente manera: L[e^at]= ∫[e^(-st+at)]dt e inclusive podemos sacar como factor común a t para simplificar aun más la integral, con lo que tenemos: L[e^at]= ∫[e^(t(-s+a))]dt.

Ahora como habíamos visto en los videos, se reescribe la transformada utilizando los límites, entonces lo que tenemos, es lo siguiente: L[e^at]= ∫[e^(t(-s+a))]dt=[t]= lim(p→∞)⁡∫(e^(a-s)tdt , con la integral evaluada entre cero y p. Resolviendo la integral por cualquier de los métodos conocidos o usando las tablas de integrales que aparecen en los textos de cálculo, tenemos que: ∫(e^(a-s)tdt={(e^[(a-s)t]/(a-s)}, evaluando la integral entre cero y p llegamos a la siguiente expresión: ∫[e^(t(-s+a))]dt= {(e^[(a-s)t]/(a-s)}-(1/a-s),una vez que hemos hallado la integral evaluada procedemos a hallar el límite de esta función , tenemos entonces que: lim(p→∞){(e^[(a-s)t]/(a-s)}-(1/a-s)= 1/(s-a). Entonces decimos que la transformada de Laplace de la función f(t)= e^at, es L[e^at]= 1/(s-a).

Como vemos el método para encontrar la transformada de Laplace se puede resumir en tres pasos, el primer paso es aplicar la definición de transformada de Laplace a la función problema, el segundo paso es hallar la integral, ya sea por métodos vistos en cursos anteriores o haciendo uso de las tablas de integración, el tercer paso es hallar el límite de la función resultante de resolver la integral. En el video se muestra de manera detallada como se resuelve la integral y como se halla luego el límite de la función resultante.