Identidades trigonométricas complejas ejemplo 4

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Cuarto ejemplo de como resolver (demostrar) una identidad trigonométrica compleja.
Se debe recordar que llamamos compleja a esta identidad ya que no solo tenemos un ángulo. En este caso tenemos dos ángulos distintos alfa y beta.
Es por ello que este tipo de identidades no se demuestran solo usando la identidades trigonométricas fundamentales

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En este video hablaremos sobre la deducción y solución de identidades trigonométricas complejas. El término de identidad trigonométrica compleja no quiere indicar que la identidad posea un grado de dificultad alto sino que el ángulo de la función no se expresa en su forma más simple, por ello pueden verse problemas en los que se vean involucrados diferentes tipos de ángulos en sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Este tipo de identidades no se demuestran sólo usando las identidades trigonométricas fundamentales y vemos que su solución posee un grado de dificultad mayor que las identidades que habíamos demostrado anteriormente. Recordemos que cuando nos piden demostrar la igualdad en una identidad debemos decir que un lado de la ecuación es equivalente al otro lado, además que no existe un técnica particular para empezar a resolver la identidad y que depende más de la habilidad y la experiencia que tenga la persona que está resolviendo el problema más que de un procedimiento claramente definido.

En este video resolveremos el siguiente ejemplo: Demostrar la siguiente identidad: seno de alfa más beta por seno de alfa menos beta es igual a seno cuadrado de alfa menos seno cuadrado de beta sen(α+β)sen(α-β)=sen^2α-sen^2β. Para resolver este problema comenzaremos por el lado izquierdo de la identidad y aplicamos las identidades del seno de la suma de alfa más beta y el seno de la resta de alfa menos beta. sen(α+β)=senαcosβ+cosαsenβ y sen(α-β)=senαcosβ-cosαsenβ. Al multiplicar estas dos ecuaciones obtenemos la siguiente expresión sen(α+β)sen(α-β)=(senαcosβ+cosαsenβ)(senαcosβ-cosαsenβ) y vemos que se puede expresar como una diferencia de cuadrados sen(α+β)sen(α-β)=sen^2αcos^2β-cos^2αsen^2 β, utilizando la identidad fundamental para representar al coseno cuadrado en términos del seno la identidad adquiere la siguiente forma: sen(α+β)sen(α-β)=sen^2α(1-sen^2β)-(1-sen^2α)sen^2β. Al efectuar las operaciones del lado derecho de la ecuación vemos que es igual al lado izquierdo con lo que queda demostrada la identidad.