Identidad para la diferencia de senos

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Deducción de una fórmula o identidad para la diferencia (resta) de seno de A y seno de B.
Se muestra como dicha diferencia de senos se puede expresar como un producto (es por ello que se considera una de las cuatro fórmulas del factor) partiendo de la fórmula del producto para seno y coseno pero haciendo previamente una pequeña transformación

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En este video vamos a deducir las expresiones para representar la suma de seno de A menos seno de B. Para representar esta resta partiremos de una identidad que habíamos demostrado en los videos anteriores y que contiene el término que queremos despejar, esta identidad es la multiplicación de seno de alfa por coseno de beta senαcosβ=(sen(α+β)+sen(α-β))/2, como vemos esta identidad no había servido para expresar la suma de seno de A más seno de B y realizando algunas modificaciones matemáticas podremos emplearla para deducir la identidad que represente la resta de seno de A menos seno de B. Si reescribimos la expresión de la siguiente manera senβcosα=(sen(β+α)+sen(β-α))/2= (sen(β+α)+sen(-(α-β)))/2 y sabiendo que la función seno es una función impar, vemos que el seno de un ángulo negativo es lo mismo que tener a menos seno del ángulo, por lo que al fin podemos representar al seno de A menos seno de B, la ecuación queda entonces como: manera senβcosα=(sen(β+α)-sen(α-β))/2 .

Si llamamos a la suma interna de alfa más beta como A y a la resta interna de alfa menos beta como B podemos comenzar a construir la expresión a la cual se quiere llegar, al hacer estas sustituciones vemos que la expresión se transforma de la siguiente manera: 2senβcosα=senA+senB y vemos que lo único que falta es expresar a alfa y a beta en términos de A y B, como habíamos visto A era la suma de alfas más beta y B era la resta de alfa menos beta que es lo mismo que tener un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo este sistema por cualquiera de los métodos conocidos como la eliminación vemos que alfa es igual a la suma de A y B sobre dos y beta es igual a la resta de Ay B sobre dos, esto es α=(A+B)/2 y β=(A-B)/2, reemplazando estos valores en la expresión anterior vemos que el seno de A menos el seno de B es igual a dos que multiplica el producto entre seno de A menos B sobre dos y el coseno de A más B sobre dos, matemáticamente: 2[sen((A-B)/2)cos((A+B)/2) ]=senA-senB.