Identidad para el producto de seno por seno (ángulos distintos)

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Deducción de la identidad para el producto de seno de alpha por seno de beta
A partir de las fórmulas o identidades para el coseno de la suma y resta se deduce una fórmula para el producto entre senos de ángulos distintos
Se hace sobre el final del video un pequeño análisis de que sucede cuando los ángulos son iguales y distintos (considerando el caso en que alfa sea mayor a beta y viceversa)

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En este video vamos a deducir las expresiones para representar el producto del seno de alfa por seno de beta. Para representar este producto partiremos de identidades vistas en los videos anteriores que incluyan en su solución este producto, como habíamos visto las identidades que incluyen este término en su solución son las identidades coseno de alfa más beta y coseno de alfa menos beta. El coseno de alfa más beta es igual a coseno de alfa por coseno de beta menos seno de alfa por seno de beta: cos(a+β)=cosαcosβ-senαsenβ y el coseno de alfa menos beta es igual coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por seno de beta: cos(a-β)= cosαcosβ+senαsenβ.

Si restamos la primera expresión con la segunda expresión, vemos que el producto seno de alfa por seno de beta puede ser despejado ya que la resta de estas dos expresiones da como resultado lo siguiente: cos(α+β)-cos(α-β)=-2senαsenβ, como vemos podemos despejar el producto de seno de alfa por seno de beta y decir que es igual a un medio de la resta de coseno de alfa menos beta con coseno de alfa más beta senαsenβ=(cos(α-β)-cos(α+β))/2. Analicemos esta expresión para los casos en que alfa sea igual a beta ó que alfa sea mayor a beta ó que alfa sea menor que beta. Para el caso que alfa sea igual a beta vemos que seno de alfa por seno de beta es igual a un medio de uno menos coseno de dos alfa, es decir sen^2α=1/2 (1-cos2α). Para el caso en que alfa sea mayor que beta o que alfa sea menor que beta vemos que la identidad queda inalterada debido a que la función coseno es una función impar.