Ecuación de Cauchy – Euler (teoría método de solución)

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Método de solución de la ecuación diferencial de Cauchy – Euler (también conocida como la ecuación equidimensional)
Para solucionar esta ecuación se procede a suponer que la solución es de la forma y=x^m donde el valor de m debe se hallado. En este video se ilustra el procedimiento para resolver una ecuación diferencial de segundo orden que luego se hace extensible para ecuaciones diferenciales de orden superior.
Se presentan tres casos al formarse una ecuación de segundo grado para m, con respecto a sus raíces:
1. Las raíces son reales distintas
2. Las raíces son reales e iguales
3. Las raíces son complejas y conjugadas.
El video tutorial ilustra que debe hacerse para cada caso pero sin proceder a presentar ejemplos puntuales.
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En este video veremos una ecuación diferencial muy especial conocida como la ecuación de Cauchy-Euler (también conocida como ecuación equidimensional). La ecuacion de Cauchy-Euler tiene la siguiente forma: an(x^n)[(d^n)y/dx^n]+an-1(x^n-1)[(d^n-1/x^n-1]+…a1(x)(dy/dx)+a0y=g(x), donde los coeficientes an, an-1, ….,a1,a0 son constantes, sin embargo como vemos la ecuación diferencial es de coeficientes variables ya que estos dependen de x. Debido a que se trata de una ecuación diferencial de coeficientes variables, vemos que no podemos hallar la solución para la ecuación homogénea relacionada por lo métodos que hemos visto hasta el momento por lo cual debemos plantear un nuevo método.

Para plantear el nuevo método lo que haremos es explicar los pasos en una ecuación diferencial de segundo orden y luego generalizar todos los pasos del método para ecuación diferenciales de orden superior, pensemos entonces en la siguiente ecuación que cumple con la forma de Cauchy-Euler: a(x^2)y’’+bxy’+cy=g(x), pensemos por un momento acerca de cómo sería la forma de la ecuacion homogénea asociada, es decir la ecuación diferencial homogénea asociada es: a(x^2)y’’+bxy’+cy=0. El método nos dice entonces que plantemos una solución que tiene la siguiente forma: y=x^m, sin embargo, la ecuación nos sugiere que debemos hallar la primera y segunda derivada de esta ecuación, entonces tenemos: y’=(m)(x^m-1) y y’’=(m-1)(m)(x^m-2), reemplazando las expresiones obtenidas en la ecuación homogénea tenemos: a(x^2)[ (m-1)(m)(x^m-2)]+bx(m)(x^m-1)+c(x^m)=0, si simplificamos esta expresión haciendo uso de las propiedades de los exponentes, vemos que la ecuación adquiere la siguiente forma: a(m)(m-1)(x^m)+b(m)(x^m)+cx^m=0, sacando factor común tenemos: x^m[am(m-1)+bm+c]=0.

Para que esta igualdad se cumpla vemos que necesariamente el término del corchete tiene que ser cero, entonces: [am(m-1)+bm+c]=0, como podemos observar la expresión anterior es una ecuación cuadrática, ya que si la reorganizamos tenemos:am^2+(b-a)m+c= 0, entonces si es posible encontrar los valores de m que hagan que se cumpla esta igualdad llegamos a la solución de la ecuación diferencial dada al comienzo ya que habíamos planteado que su solución era: y=x^m.